Lösung des Integrals < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] \begin{equation} \int\limits_0^{t_1}\int\limits_0^{t_2}\cdots\int\limits_0^{t_k}u(\tau)d\tau
dt_k\cdots dt_{2} = \int\limits_0^{t_1}\frac{1}{(k-1)!}
(t_1-\tau)^{(k-1)}u(\tau)d\tau
\end{equation}
[/mm]
|
Hallo,
ich weiß, das folgende Beziehung gilt (Cauchy-Formel für wiederholte
Integration):
[mm] \begin{equation} \int\limits_0^{t_1}\int\limits_0^{t_2}\cdots\int\limits_0^{t_k}u(\tau)d\tau
dt_k\cdots dt_{2} = \int\limits_0^{t_1}\frac{1}{(k-1)!}
(t_1-\tau)^{(k-1)}u(\tau)d\tau
\end{equation}
[/mm]
Trotzdem möchte ich sie über vollständige Induktion beweisen. Für zweimalige Integration (k=2) läßt sich die Formel noch relativ leicht durch partielle Integration überprüfen. Im Induktionsschritt (k+1) mache ich folgendes:
[mm] \begin{eqnarray*}
I&=&\int\limits_0^{t_1} 1\int\limits_0^{t_2} \frac{1}{(k-1)!} (t_2-\tau)^{(k-1)}u(\tau)d\tau dt_2\\ &=& \left[t_2\int\limits_0^{t_2} \frac{1}{(k-1)!}(t_2-\tau)^{(k-1)}u(\tau)d\tau\right]_0^{t_1}-\int\limits_0^
{t_1}t_2\frac{1}{(k-1)!}(t_1-t_2)^{(k-1)}u(t_2)dt_2\\
&=&t_1\int\limits_0^{t_1}\frac{1}{(k-1)!}(t_1-t_2)^{(k-1)}u(t_2)dt_2-\int\li
mits_0^{t_1}t_2\frac{1}{(k-1)!}(t_1-t_2)^{(k-1)}u(t_2)dt_2\\
&=&\int\limits_0^{t_1}\frac{1}{(k-1)!}(t_1-t_2)^{k}u(t_2)dt_2
\end{eqnarray*}
[/mm]
Es fehlt also ein Faktor 1/k, denn laut der Formel müsste in der letzten Zeile ein 1/(k!) stehen. Sieht irgendjemand den Fehler?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Mi 31.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
