Lösung durch Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösen Sie die folgenden Differentialgleichung mittels einer Substitution der Form y(t)=a*t+bx(t)+c nach x(t).
(i) [mm] \bruch{dx}{dt}=\bruch{t-x+2}{t-x+3}
[/mm]
(ii) [mm] \bruch{dx}{dt}=\bruch{1-2x-t}{4x+2t}
[/mm]
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Hallo,
also diese Form der Substitution wurde bei uns in der Vorlesung gar nicht besprochen. Nun würde ich - bevor ich wild drauf los rechne - gerne wissen was es damit auf sich hat und nach welchem kriterien ich a und b wähle.
Vielleicht erklärt sich jemand bereit das erste Beispiel mit mir zusammen durchzugehen...?
Vielen Dank,
exeqter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 So 27.12.2009 | | Autor: | mathiko |
Hi,
ich habe hier was gefunden, was vielleicht weiterhelfen könnte...?!
http://www.mathepedia.de/y'_f((axbyc)(dxeyf)).aspx
Gruß mathiko
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Hallo eXeQteR,
> Lösen Sie die folgenden Differentialgleichung mittels
> einer Substitution der Form y(t)=a*t+bx(t)+c nach x(t).
>
> (i) [mm]\bruch{dx}{dt}=\bruch{t-x+2}{t-x+3}[/mm]
>
> (ii) [mm]\bruch{dx}{dt}=\bruch{1-2x-t}{4x+2t}[/mm]
>
> Hallo,
>
> also diese Form der Substitution wurde bei uns in der
> Vorlesung gar nicht besprochen. Nun würde ich - bevor ich
> wild drauf los rechne - gerne wissen was es damit auf sich
> hat und nach welchem kriterien ich a und b wähle.
>
> Vielleicht erklärt sich jemand bereit das erste Beispiel
> mit mir zusammen durchzugehen...?
Der Link von mathiko in diesem Artikel hilft Dir weiter.
Hier ist der Spezialfall, daß es sich hier
um je zwei parallele Geraden handelt, anzuwenden.
Nun bei i) handelt es sich um parallele Geraden der Form
[mm]t-x+c[/mm]
Schreibe hier zunächst
[mm]t-x+2=\alpha*\left(t-x+3\right)+\beta[/mm]
Setze dies in die gegebene DGL ein,
und wende dann die Substitution [mm]y\left(t\right)=t-x\left(t\right)+3[/mm] an.
> Vielen Dank,
>
> exeqter
Gruss
MathePower
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Hi,
danke für deine antwort.
Dann erhalte ich also:
$ [mm] \bruch{dx}{dt}=\bruch{t-x+2}{t-x+3}=\bruch{t-x+3-1}{t-x+3} [/mm] $
Nach substitution:
$ [mm] \bruch{dx}{dt}=\bruch{y-1}{y} [/mm] $ mit $ [mm] \bruch{dx}{dt}=1-y' [/mm] $
Also:
[mm] 1-y'=\bruch{y-1}{y}
[/mm]
y*y'=1
integrieren:
[mm] \integral_{}^{}{y*\bruch{dy}{dt} dt}=\integral_{}^{}{1 dt}
[/mm]
[mm] \bruch{y^2}{2}=t+C
[/mm]
Ist das soweit schonmal richtig ?
Lg,
exeqter
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Hallo eXeQteR,
> Hi,
>
> danke für deine antwort.
>
> Dann erhalte ich also:
>
> [mm]\bruch{dx}{dt}=\bruch{t-x+2}{t-x+3}=\bruch{t-x+3-1}{t-x+3}[/mm]
>
> Nach substitution:
>
> [mm]\bruch{dx}{dt}=\bruch{y-1}{y}[/mm] mit [mm]\bruch{dx}{dt}=1-y'[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]1-y'=\bruch{y-1}{y}[/mm]
>
> y*y'=1
>
> integrieren:
>
> [mm]\integral_{}^{}{y*\bruch{dy}{dt} dt}=\integral_{}^{}{1 dt}[/mm]
>
> [mm]\bruch{y^2}{2}=t+C[/mm]
>
> Ist das soweit schonmal richtig ?
Ja, das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Lg,
>
> exeqter
Gruss
MathePower
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> Lösen Sie die folgenden Differentialgleichung mittels
> einer Substitution der Form y(t)=a*t+bx(t)+c nach x(t).
>
> (i) [mm]\bruch{dx}{dt}=\bruch{t-x+2}{t-x+3}[/mm]
>
> (ii) [mm]\bruch{dx}{dt}=\bruch{1-2x-t}{4x+2t}[/mm]
>
> Hallo,
>
> also diese Form der Substitution wurde bei uns in der
> Vorlesung gar nicht besprochen. Nun würde ich - bevor ich
> wild drauf los rechne - gerne wissen was es damit auf sich
> hat und nach welchem kriterien ich a und b wähle.
>
> Vielleicht erklärt sich jemand bereit das erste Beispiel
> mit mir zusammen durchzugehen...?
>
> Vielen Dank,
>
> exeqter
Wenn schon so ein Tipp gegeben wird, würde ich
einfach einmal versuchen, ihn ganz naïv einzusetzen.
Dabei ist wohl die erste Wahl, dass man den Nenner
als neue Variable nimmt, also y:=t-x+3 in (i) und
y:=4x+2t (oder besser y:=2x+t) in (ii) .
Dann schauen, was sich daraus ergibt ...
LG Al-Chw.
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Hallo und danke für eure Antworten,
ich habe jetzt beide Aufgaben durchgerechnet und komme auf folgende Ergebnisse :
(i) [mm] \bruch{t^2}{2}-t*(x-2)+\bruch{1}{2}*(x-3)^2=C
[/mm]
und
(ii) [mm] 8x^2+t*(8x-4)+2t^2=C
[/mm]
Das ergebnis von (i) habe ich erhalten nachdem ich in die gleichung
[mm] \bruch{y^2}{2}=t+C
[/mm]
y=t-x+3 substituiert habe.
Ähnlich bei (ii).
Stimmt das so ?
Lg,
exeqter
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Hallo exeqter,
besser ist immer, Du rechnest es vor. Dann ist es leichter nachzuvollziehen.
Ich bekomme die gleichen Ergebnisse, wenn auch stellenweise in anderer Darstellung. Mit anderen Worten: soweit alles richtig!
Aber Du solltest doch x(t) bestimmen...
Das geht hier ohne p/q-Formel!
lg
reverend
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