Lösung einer DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Berechnen SIe die Lösung der DGL:
[mm] y^{{iv}+2y^{ii}+y = 0
Hallo :}
[/mm]
Ich meine charakteristische Gleichung hierzu:
[mm] \lambda^4+2\lambda^2+1 [/mm] = 0 ???
Ich bin mir deshalb unsicher, da ich gestern diese DIfferentialgleichung zu lösen hatte: [mm] y^{(iv)}-y^{iii}-2y^{ii}+6y^{i}-4
[/mm]
und von ihr die charak. Gl. [mm] \lambda^4-\lambda^3-2\lambda^2+6\lambda-4 [/mm] war
Meien Frage ist übernimmt man einerseits die Konstanten (wie hier die (-4)) in die charakteristische Gleichung als auch die y (also die nicht abgeleiteten Funktionen). Denn bei beiden erhalte ich Natürliche Zahlen in meiner charakteristischen Gleichung.
-> Die Auflösung dieser Gleichung funktioniert dann wohl mit Substitution und pq-Formel... müssten wohl complexe Werte herauskommen...
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Hallo,
deine charkteristische Gleichung ist richtig, für den Fall, dass die DGL tatsächlich so lautet:
[mm] y^{(IV)}+2y''+y=0
[/mm]
(Das ist wegen eines Eingabefehlers nicht ganz klar).
Du brauchst auch keine pq-Formel bemühen:
[mm] \lambda^4+2\lambda^2+1=0 [/mm] <=>
[mm] (\lambda^2+1)^2=0
[/mm]
und damit gibt es nur komplexe Lösungen, wie du richtig vermutet hast.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Do 22.03.2012 | | Autor: | MathePower |
Hallo Diophant,
> Hallo,
>
> zunächst; soll das so heißen:
>
> [mm]y^{(IV)}+2y''+y=0[/mm]
>
> ?
>
> Dann hieße die charakteristische Gleichung so:
>
> [mm]\lambda^4+2\lambda^2+\lambda=0[/mm]
>
Die charakteristische Gleichung sieht doch so aus;
[mm]\lambda^4+2\lambda^2+\red{1}=0[/mm]
> und da würden die Dinge nicht ganz so einfach liegen: man
> könnte [mm]\lambda[/mm] einmal ausklammern, aber das entstehende
> Polynom 3. Grades hat es in sich.
>
> Prüfe also nochmal, ob deine Aufgabenstellung richtig
> ist.
>
> Gruß, Diophant
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:57 Do 22.03.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo MathePower,
danke, dass du aufgepasst hast, ich hatte mich vertan. Ich habe meinen Fehler aber oben mal noch behoben.
Gruß, Diophant
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Ja, bin mir sicher, sie lautet [mm] y^{iv}+2y^{ii}+y [/mm] = 0 :(
Ich würde eben gerne wissen, weshalb natürliche Zahlen und y(x) beide in der charakteristischen Gleichung natürliche Zahlen besitzen... oder liegt das daran das meine eine natürliche Zahl auch als konstante Funktion y(x)=a darstellen könnte?
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Hallo,
> Ja, bin mir sicher, sie lautet [mm]y^{iv}+2y^{ii}+y[/mm] = 0 :(
>
Sorry, ich hatte mich verlesen, ich habe es oben korrigiert.
> Ich würde eben gerne wissen, weshalb natürliche Zahlen
> und y(x) beide in der charakteristischen Gleichung
> natürliche Zahlen besitzen... oder liegt das daran das
> meine eine natürliche Zahl auch als konstante Funktion
> y(x)=a darstellen könnte?
Diese Frage verstehe ich nicht. Die charakteristische Gleichung einer gewöhnlichen linearen DGL mit konstanten Koeffizienten beziht ihre Koeffizienten ja per Definitionem aus den Vorfaktoren der eden Potenzen entsprechenden Ableitungen in der DGL.
Oder meinst du das Auftreten komplexer Lösungen: nun, wie in jeder algebraischen Gleichung so kann es auch hier passieren, dass die Gleichung ausschließlich komplexe Lösungen besitzt, die paarweise als konjugiert-komplexe Lösungen auftreten, da die Koeffizienten reell sind.
Gruß, Diophant
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Nunja ich meine damit das die beiden DGL bspw.
y'' + y = 0 und
y'' + 1 = 0
ja beide die charakteristische Gleichung
[mm] \lambda^2+1 [/mm] = 0 hätten.
Das verstehe ich nicht so recht :/
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Hallo,
> Nunja ich meine damit das die beiden DGL bspw.
>
> y'' + y = 0 und
>
> y'' + 1 = 0
>
> ja beide die charakteristische Gleichung
>
> [mm]\lambda^2+1[/mm] = 0 hätten.
>
> Das verstehe ich nicht so recht :/
es stimmt auch nicht: in die charakteristische Gleichung geht ja nur die homogene DGL ein, die hieße im zweiten Fall schlicht und ergreifend
y''=0
und die charakteristische Gleichg damit
[mm] \lambda^2=0
[/mm]
Man braucht das aber im letzten Fall überhautpt nicht, da man hier ganz einfach durch zweimalige Integration zum Ziel kommt.
Gruß, Diophant
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Achso, da habe ich die Beispiele schlecht gewählt.
Was ich viel mehr damit meine ist, wenn ich eine DGL habe bspw. diese
[mm] y^{iv}-2y^{ii} [/mm] + y +4 = 0
was mach eich mit y und 4 in meiner charkteristische Gleichung?
lautet die dann [mm] \lambda^4-2\lambda^2+1+4 [/mm] = 0 [mm] also\lambda^4-2\lambda^2+5=0?
[/mm]
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Hallo,
nein: hier heißt es
[mm] \lambda^4-2\lambda^2+1=0
[/mm]
Gruß, Diophant
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Weshalb verschwinden die 4?
Gestern hatte ich ja die DGL [mm] y^{(iv)}-y^{iii}-2y^{ii}+6y^{i}-4
[/mm]
dort hat man die -4 auch in die charakt. Gl. übernommen... fallen Konstanten weg, wenn die Funktion unabgeleitet vorkommt?
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Hallo,
dann hat man gestern einen Fehler gemacht (war ich da auch beteiligt: falls ja: sorry dafür).
Nochmals: die charakteristische Gleichung wird aus der zugehörigen homogenen DGL gebildet, die besitzt keine Konstanten.
Gruß, Diophant
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Also die Aufgabe war:
Berechnen SIe die Lösung der linearen DGL
[mm] y^{(iv)}-y^{iii}-2y^{ii}+6y^{i}-4 [/mm] = 0
mit [mm] y(0)=y^{i}(0)=y^{ii}(0)=0 [/mm] $ und $ [mm] y^{iii}(0)=10
[/mm]
Hinweis: Zwei Nullstellen der charakteristischen Gleichung sind 1 und -2
Das Problem ist hierbei, dass wenn ich die charakteristische Gl.
[mm] \lambda^4-\lambda^3-2\lambda^2+6\lambda [/mm] = 0 verwende ich die beiden Nullstellen aus dem Hinweis nicht verwenden könnte :/
Oder formt man die 4 um auf die andere Seite und setzt die charakt. Gl. dann nicht = 0 sondern = 4? Dann würde alles doch wieder stimmen :)
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Hallo,
> Oder formt man die 4 um auf die andere Seite und setzt die
> charakt. Gl. dann nicht = 0 sondern = 4? Dann würde alles
> doch wieder stimmen :)
bitte schlage einmal nach, was der Begriff homogene Differentialgleichung bedeutet. Wenn die DGL von gestern so hieß wie du schreibst, dann heißt ihre charakteristische Gleichung
[mm] \lambda^4-\lambda^3-2\lambda^2+6\lambda=0
[/mm]
und nicht anders. Die 4 hat in der charakteristischen Gleichung ebensowenig zu suchen, wie in der homogenen DGL. 
Gruß, Diophant
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> Hallo,
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> deine charkteristische Gleichung ist richtig, für den
> Fall, dass die DGL tatsächlich so lautet:
>
> [mm]y^{(IV)}+2y''+y=0[/mm]
>
> (Das ist wegen eines Eingabefehlers nicht ganz klar).
>
> Du brauchst auch keine pq-Formel bemühen:
>
> [mm]\lambda^4+2\lambda^2+1=0[/mm] <=>
>
> [mm](\lambda^2+1)^2=0[/mm]
>
> und damit gibt es nur komplexe Lösungen, wie du richtig
> vermutet hast.
>
> Gruß, Diophant
>
Vielen Dank :)
Dann ist mein [mm] \lambda [/mm] = i
und ich erhalte als wegen [mm] e^{ix} [/mm] = cos(x) + i sin(x)
Als lösung meiner DGL y(x) = cos(x) + sin(x) ?
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Hallo LittleStudi,
> > Hallo,
> >
> > deine charkteristische Gleichung ist richtig, für den
> > Fall, dass die DGL tatsächlich so lautet:
> >
> > [mm]y^{(IV)}+2y''+y=0[/mm]
> >
> > (Das ist wegen eines Eingabefehlers nicht ganz klar).
> >
> > Du brauchst auch keine pq-Formel bemühen:
> >
> > [mm]\lambda^4+2\lambda^2+1=0[/mm] <=>
> >
> > [mm](\lambda^2+1)^2=0[/mm]
> >
> > und damit gibt es nur komplexe Lösungen, wie du richtig
> > vermutet hast.
> >
> > Gruß, Diophant
> >
> Vielen Dank :)
>
> Dann ist mein [mm]\lambda[/mm] = i
>
Es gibt doch 2 Lösungen einer quadratischen Gleichung: [mm]\lambda_{1,2}=\blue{\pm} i [/mm]
> und ich erhalte als wegen [mm]e^{ix}[/mm] = cos(x) + i sin(x)
>
> Als lösung meiner DGL y(x) = cos(x) + sin(x) ?
Nun, der Real- als auch der Imaginärteil
einer komplexen Lösung löst wiederum die DGL.
Bedenke, daß die komplexen Lösungen [mm]\pm i[/mm] jeweils
doppelte Lösungen der charakteristischen Gleichung sind.
Daher fehlen noch 2 Lösungen dieser DGL.
Gruss
MathePower
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> Hallo LittleStudi,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > deine charkteristische Gleichung ist richtig, für den
> > > Fall, dass die DGL tatsächlich so lautet:
> > >
> > > [mm]y^{(IV)}+2y''+y=0[/mm]
> > >
> > > (Das ist wegen eines Eingabefehlers nicht ganz klar).
> > >
> > > Du brauchst auch keine pq-Formel bemühen:
> > >
> > > [mm]\lambda^4+2\lambda^2+1=0[/mm] <=>
> > >
> > > [mm](\lambda^2+1)^2=0[/mm]
> > >
> > > und damit gibt es nur komplexe Lösungen, wie du richtig
> > > vermutet hast.
> > >
> > > Gruß, Diophant
> > >
> > Vielen Dank :)
> >
> > Dann ist mein [mm]\lambda[/mm] = i
> >
>
>
> Es gibt doch 2 Lösungen einer quadratischen Gleichung:
> [mm]\lambda_{1,2}=\blue{\pm} i[/mm]
>
>
> > und ich erhalte als wegen [mm]e^{ix}[/mm] = cos(x) + i sin(x)
> >
> > Als lösung meiner DGL y(x) = cos(x) + sin(x) ?
>
>
> Nun, der Real- als auch der Imaginärteil
> einer komplexen Lösung löst wiederum die DGL.
>
> Bedenke, daß die komplexen Lösungen [mm]\pm i[/mm] jeweils
> doppelte Lösungen der charakteristischen Gleichung sind.
>
> Daher fehlen noch 2 Lösungen dieser DGL.
>
>
> Gruss
> MathePower
Achso klar, es fehlt noch [mm] e^{-ix}.... [/mm] ist dass dann [mm] \bruch{1}{cos(x)+isin(x)} [/mm] ?
Somit wäre mein y(x) = cos(x)+ sin(x) + [mm] \bruch{1}{cos(x)+sin(x)} [/mm] ?
Irgendwie glaube ich das da was faul ist :(
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Hallo LittleStudi,
> > Hallo LittleStudi,
> >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > deine charkteristische Gleichung ist richtig, für den
> > > > Fall, dass die DGL tatsächlich so lautet:
> > > >
> > > > [mm]y^{(IV)}+2y''+y=0[/mm]
> > > >
> > > > (Das ist wegen eines Eingabefehlers nicht ganz klar).
> > > >
> > > > Du brauchst auch keine pq-Formel bemühen:
> > > >
> > > > [mm]\lambda^4+2\lambda^2+1=0[/mm] <=>
> > > >
> > > > [mm](\lambda^2+1)^2=0[/mm]
> > > >
> > > > und damit gibt es nur komplexe Lösungen, wie du richtig
> > > > vermutet hast.
> > > >
> > > > Gruß, Diophant
> > > >
> > > Vielen Dank :)
> > >
> > > Dann ist mein [mm]\lambda[/mm] = i
> > >
> >
> >
> > Es gibt doch 2 Lösungen einer quadratischen Gleichung:
> > [mm]\lambda_{1,2}=\blue{\pm} i[/mm]
> >
> >
> > > und ich erhalte als wegen [mm]e^{ix}[/mm] = cos(x) + i sin(x)
> > >
> > > Als lösung meiner DGL y(x) = cos(x) + sin(x) ?
> >
> >
> > Nun, der Real- als auch der Imaginärteil
> > einer komplexen Lösung löst wiederum die DGL.
> >
> > Bedenke, daß die komplexen Lösungen [mm]\pm i[/mm] jeweils
> > doppelte Lösungen der charakteristischen Gleichung
> sind.
> >
> > Daher fehlen noch 2 Lösungen dieser DGL.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Achso klar, es fehlt noch [mm]e^{-ix}....[/mm] ist dass dann
> [mm]\bruch{1}{cos(x)+isin(x)}[/mm] ?
>
> Somit wäre mein y(x) = cos(x)+ sin(x) +
> [mm]\bruch{1}{cos(x)+sin(x)}[/mm] ?
> Irgendwie glaube ich das da was faul ist :(
Ja, da ist mächtig was faul.
Um die 2 anderen Lösungen zu finden,
multiplizierst Du die bisherigen Lösungen mit x.
Gruss
MathePower
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aber dann erhalte ich: x cos(x) + i x sin(x)
Sind das meine anderen beiden Lösungen?
Weshalb multipliziert man mit x?
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Hallo LittleStudi,
> aber dann erhalte ich: x cos(x) + i x sin(x)
>
> Sind das meine anderen beiden Lösungen?
>
Die Lösung der homogenen DGL ergibt sich somit zu:
[mm]y\left(x\right)=c_{1}*\sin\left(x\right)+c_{2}*\cos\left(x\right)+c_{3}*x*\sin\left(x\right)+c_{4}*x*\cos\left(x\right)[/mm]
> Weshalb multipliziert man mit x?
Nun, weil [mm]\lambda= \pm i[/mm] doppelte Nullstellen
des charakteristischen Polynoms sind.
Gruss
MathePower
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Achso :)
Vielen Dank für eure Hilfe :)
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Ich habe noch eine Frage, ich hatte gestern eine charakteristsche Gleichung deren Lösung 0 = [mm] 1\pm [/mm] i war.
Meine Lösung war jedoch nur für [mm] e^{(1+i)x} [/mm] = [mm] e^x [/mm] cos(x) + [mm] e^x [/mm] i sin(x)
hier hat man doch auch zwei [mm] \lambda [/mm] einmal 1+i und einmal 1-i jedoch wurde für die Lösung nur die eine Nullstelle betrachtet.
Es gab zusätzlich noch zwei reelle Nullstellen (1 und -2), wodurch ich die
Lösung:
[mm] C_1e^x+C_2e^{-2x}+C_3e^x [/mm] cos(x) + [mm] C_4 e^x [/mm] sin(x)
Fehlt hier dann auch noch der zweite Teil (1-i) ?
Mittlerweile habe ich gesehen, dass 1-i sehr wohl verwendet wurde... das ganze wurde nur etwas abgekürzt ;)
Somit kann man die Frage als geklärt betrachten - ich weiß nur leider nicht wie man das rote Viereck zu einem weißen macht :-(
Vielen Dank für alles
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:47 Fr 23.03.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Somit kann man die Frage als geklärt betrachten - ich
> weiß nur leider nicht wie man das rote Viereck zu einem
> weißen macht :-(
ich hab das mal für dich erledigt.
Gruß, Diophant
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Ich hätte noch eine Frage:
Ich muss nunnoch die spezielle Lösung der Differentialgleichung berechnen
Hierzu wurde angegeben: y(0) = 1; y'(1) = 2; y''(0) = 1; y'''(0) = 4
Hierzu leite ich y(x) = [mm] C_1 [/mm] cos(x) + [mm] C_2 [/mm] sin(x) + [mm] C_3 [/mm] x cos(x) + [mm] C_4 [/mm] x sin(x) ab.
y'(x) = -C_1sin(x) + [mm] C_2 [/mm] cos(x) + [mm] C_3 [/mm] cos(x) - [mm] C_3 [/mm] x sin(x) + [mm] C_4 [/mm] sin(x) + [mm] C_4 [/mm] x cos(x)
das mache ich natürlich auch noch mit der zweiten und dritten Ableitung.
Dann setzte ich meine obigen Werte ein und erhalte ein Gleichungssystem.
Allerdings habe ich bei y'(1)=2 ein Problem, da sowohl cos also auch sin von 1 ziemlich krumme Werte ergeben.
Gibt es hierbei einen Trick oder ist vielleicht die AUfgabenstellung falsch, so dass es eventuell y'(0)=2 heißen müsste?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:03 Do 29.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich hätte noch eine Frage:
>
> Ich muss nunnoch die spezielle Lösung der
> Differentialgleichung berechnen
>
> Hierzu wurde angegeben: y(0) = 1; y'(1) = 2; y''(0) = 1;
> y'''(0) = 4
>
> Hierzu leite ich y(x) = [mm]C_1[/mm] cos(x) + [mm]C_2[/mm] sin(x) + [mm]C_3[/mm] x
> cos(x) + [mm]C_4[/mm] x sin(x) ab.
>
> y'(x) = -C_1sin(x) + [mm]C_2[/mm] cos(x) + [mm]C_3[/mm] cos(x) - [mm]C_3[/mm] x sin(x)
> + [mm]C_4[/mm] sin(x) + [mm]C_4[/mm] x cos(x)
>
> das mache ich natürlich auch noch mit der zweiten und
> dritten Ableitung.
> Dann setzte ich meine obigen Werte ein und erhalte ein
> Gleichungssystem.
>
> Allerdings habe ich bei y'(1)=2 ein Problem, da sowohl cos
> also auch sin von 1 ziemlich krumme Werte ergeben.
Lass doch einfach sin(1) und cos(1) stehen.
>
> Gibt es hierbei einen Trick
Nein.
> oder ist vielleicht die
> AUfgabenstellung falsch, so dass es eventuell y'(0)=2
y'(0)=2 könnte sein, aber das mußt Du den Aufgabensteller fragen
FRED
> heißen müsste?
>
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> > Ich hätte noch eine Frage:
> >
> > Ich muss nunnoch die spezielle Lösung der
> > Differentialgleichung berechnen
> >
> > Hierzu wurde angegeben: y(0) = 1; y'(1) = 2; y''(0) = 1;
> > y'''(0) = 4
> >
> > Hierzu leite ich y(x) = [mm]C_1[/mm] cos(x) + [mm]C_2[/mm] sin(x) + [mm]C_3[/mm] x
> > cos(x) + [mm]C_4[/mm] x sin(x) ab.
> >
> > y'(x) = -C_1sin(x) + [mm]C_2[/mm] cos(x) + [mm]C_3[/mm] cos(x) - [mm]C_3[/mm] x sin(x)
> > + [mm]C_4[/mm] sin(x) + [mm]C_4[/mm] x cos(x)
> >
> > das mache ich natürlich auch noch mit der zweiten und
> > dritten Ableitung.
> > Dann setzte ich meine obigen Werte ein und erhalte ein
> > Gleichungssystem.
> >
> > Allerdings habe ich bei y'(1)=2 ein Problem, da sowohl cos
> > also auch sin von 1 ziemlich krumme Werte ergeben.
>
> Lass doch einfach sin(1) und cos(1) stehen.
>
Das Problem ist, dass ich das Gleichungssystem nicht lösen kann, wenn dort bspw.
[mm] C_1 [/mm] + [mm] C_3 [/mm] = 0
- [mm] C_1 [/mm] sin(1) - [mm] C_2 [/mm] cos(1) - ...
...
steht, oder kann man dieses Gleichungssystem ebenso mit dem Gaußverfahren lösen. bspw II-Zeile + I-Zeile*sin(1)?
>
> >
> > Gibt es hierbei einen Trick
>
> Nein.
>
> > oder ist vielleicht die
> > AUfgabenstellung falsch, so dass es eventuell y'(0)=2
>
> y'(0)=2 könnte sein, aber das mußt Du den Aufgabensteller
> fragen
>
> FRED
> > heißen müsste?
> >
> >
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Hallo LittleStudi,
> Das Problem ist, dass ich das Gleichungssystem nicht lösen
> kann, wenn dort bspw.
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> [mm]C_1[/mm] + [mm]C_3[/mm] = 0
> - [mm]C_1[/mm] sin(1) - [mm]C_2[/mm] cos(1) - ...
> ...
>
> steht, oder kann man dieses Gleichungssystem ebenso mit dem
> Gaußverfahren lösen. bspw II-Zeile + I-Zeile*sin(1)?
Ja, das kannst du mit einem Verfahren deiner Wahl lösen.
Gauß bietet sich immer an ...
Aber schreibe doch erstmal die Ableitungen und das LGS, das du aus den Anfangsbedingungen bekommst, hier auf, dann kann man das nachkontrollieren ...
Gruß
schachuzipus
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