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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Lösung einer Diff-Gleichung
Lösung einer Diff-Gleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lösung einer Diff-Gleichung: partikuläre Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:49 Mo 30.06.2008
Autor: blawa

Aufgabe
y'' + 2y' – 3y = [mm] 2xe^x [/mm] + 1

Gesucht sind homegene als auch partikuläre Lösung(en)

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.informatik-forum.at/showthread.php?t=66169

Also y(h) zu bestimmen ist nicht schwer, jedoch habe ich ein Problem mit der Störfunktion:
[mm] 2xe^x [/mm] benötigt den Ansatz [mm] (A+Bx)e^x [/mm]
Da aber dabei ein Resonanzfall auftritt, muss noch ein mal mit x multipliziert werden:
Neuer Ansatz y(p) = [mm] (A0x+Bx^2)e^x [/mm]
Um nun A0+A1 zu bestimmen, mache ich die erste und 2te Ableitung:

y(p) = [mm] (Ax+Bx^2)e^x [/mm]
y(p)' = [mm] Ae^x [/mm] + [mm] Axe^x [/mm] + [mm] 2Bxe^x [/mm] + [mm] Bx^2 e^x [/mm]
y(p)'' = [mm] 3Ae^x [/mm] + [mm] 2Be^x [/mm] + [mm] 4Bxe^x [/mm] + [mm] 2Bx^2 e^x [/mm]

Wenn ich das aber in die Ausgangs-Gleichung einsetzte, erhalte ich die folgenden 3 Gleichungen:
5A+2B=0   (Anteil [mm] x^0) [/mm]
-A+5B=2 (Anteil [mm] x^1) [/mm]
-B=0 (Anteil [mm] x^2) [/mm]

Und das stimmt nicht... Ich weis nicht wo mein Fehler liegt, könnte mich jemand korrigieren?

        
Bezug
Lösung einer Diff-Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:12 Mo 30.06.2008
Autor: konvex

hallo,
deine zweite ableitung müsste falsch sein oder?
also, ich komm auf

y''(x)= [mm] 2Ae^x [/mm] + [mm] Axe^x [/mm] + [mm] 2Be^x [/mm] + [mm] 4Bxe^x [/mm] + [mm] bx^2e^x [/mm]

oder hab ich flasch gelesen?!

mfg

Bezug
                
Bezug
Lösung einer Diff-Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:35 Mo 30.06.2008
Autor: blawa

Also ich habs so in einzelschritten gemacht:
y' = [mm] A(e^x+xe^x) [/mm] + [mm] B(2xe^x+x^2e^x) [/mm]
y'' = [mm] A(e^x+xe^x)' [/mm] + [mm] B(2xe^x+x^2e^x)' [/mm]
= [mm] A((e^x)'+(xe^x)') [/mm] + [mm] B((2xe^x)'+(x^2e^x)') [/mm]
[mm] =A(e^x+(e^x+xe^x))+ B(2(e^x+xe^x)+(2xe^x+x^2e^x)) [/mm]
[mm] =3Ae^x+B(2e^x+2xe^x+2xe^x+x^2e^x) [/mm]
[mm] =3Ae^x+2Be^x+4Bxe^x+Bx^2e^x [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Lösung einer Diff-Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:10 Di 01.07.2008
Autor: fred97

Deine 2. Ableitung ist definitiv falsch !
Konvex hat sie richtig berechnet.
FRED

Bezug
                                
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Lösung einer Diff-Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:52 Di 01.07.2008
Autor: blawa

Ok stimmt... habe es jetzt mit dem neuen y'' probiert, wobei jetzt der Anteil von [mm] x^2 [/mm] wegfällt, was ja gut ist.

Komme auf B=2/8 und A=-1/8

Stimmt das jetzt?

Bezug
                                        
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Lösung einer Diff-Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:04 Di 01.07.2008
Autor: Martinius

Hallo,

die Lösung heißt:

[mm] $y=\left(\bruch{1}{4}x^2-\bruch{1}{2}x\right)*e^x-\bruch{1}{3}$ [/mm]

Also [mm] A=-\bruch{1}{2} [/mm]  und   [mm] B=\bruch{1}{4} [/mm]  und  [mm] C=-\bruch{1}{3} [/mm]

LG, Martinius

Bezug
        
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Lösung einer Diff-Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:19 Di 01.07.2008
Autor: hobes

Hallo,

denke du hast dich bei [mm] y_p''(x) [/mm] verrechnet. Bei mir steht da:
[mm] \newline [/mm] $$ [mm] y_p''(x)=e^x [/mm] (2A + 2B + x(A + [mm] 4B)+B\,x^2).$$ [/mm]

Grüße so früh am Morgen...

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Lösung einer Diff-Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:33 Di 01.07.2008
Autor: fred97

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FRED

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