Lösung eines Gleichungssystems < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösungen finden für:
[mm] \cos(x)+\cos(x+y)=0
[/mm]
[mm] \cos(y)+\cos(y+x)=0
[/mm]
[mm] x,y\in[0,\bruch{\pi}{2}] [/mm] |
Hallo!
Im Rahmen einer Aufgabe zur Berechnung von Extrempunkten einer Funktion mit zwei Veränderlichen komme ich zu dem oben genannten Gleichungssystem. Mit Nachdenken komme ich auf die korrekte Lösung [mm] (x,y=\bruch{\pi}{3}), [/mm] der formale Weg dahin erschliesst sich mir aber nicht.
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
Danke!
Thomas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
man könnte die Identität
[mm]\cos(x)=-\cos(\pi-x)[/mm]
ausnutzen.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 Fr 13.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Lösungen finden für:
> [mm]\cos(x)+\cos(x+y)=0[/mm]
> [mm]\cos(y)+\cos(y+x)=0[/mm]
> [mm]x,y\in[0,\bruch{\pi}{2}][/mm]
> Hallo!
>
> Im Rahmen einer Aufgabe zur Berechnung von Extrempunkten
> einer Funktion mit zwei Veränderlichen komme ich zu dem
> oben genannten Gleichungssystem. Mit Nachdenken komme ich
> auf die korrekte Lösung [mm](x,y=\bruch{\pi}{3}),[/mm] der formale
> Weg dahin erschliesst sich mir aber nicht.
>
> Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
Aus den ersten beiden Gleichungen folgt: cos(x)=cos(y). Da der Kosinus auf [mm] [0,\bruch{\pi}{2}] [/mm] injektiv ist, folgt: x=y.
Hilft das ?
FRED
> Danke!
> Thomas
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Danke! Bin mir nicht schlüssig ob es weiterhlft:
aus x=y folgt:
[mm] \cos(x)+\cos(2x)=0 \Rightarrow \cos(x)+\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)=0
[/mm]
Ich denke mal darüber nach..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 Fr 13.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Danke! Bin mir nicht schlüssig ob es weiterhlft:
>
> aus x=y folgt:
>
> [mm]\cos(x)+\cos(2x)=0 \Rightarrow \cos(x)+\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)=0[/mm]
>
> Ich denke mal darüber nach..
Verwende [mm] cos^2(x)+sin^2(x)=1 [/mm] und Du erhältst eine quadratische Gl. für cos(x)
FRED
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Hallo Fred!
Danke! Daran habe ich auch schon gedacht. Wie komme ich jedoch
[mm] \cos^{2}(x)-\sin^{2}(x) [/mm] zu [mm] \cos^{2}(x)+\sin^{2}(x) [/mm] ?
Gruss
Thomas
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Hallo Dark.Rider,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du sollst [mm]\sin^2(x)+\cos^2(x) \ = \ 1[/mm] umformen zu [mm]\sin^2(x) \ = \ 1-\cos^2(x)[/mm] und dies in Deine Gleichung einsetzen, damit dort kein [mm]\sin(x)[/mm] mehr auftaucht.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner!
Danke! Aber entweder sehe ich den Wald vor lauter Bäume nicht, oder du hast die letzten Postings nicht genau gelesen. Die Ausgangssituation ist die Gleichung:
[mm] \cos(x)+\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)=0
[/mm]
Somit kann die Umformung mittels [mm] \cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1 [/mm] nicht erfogen, da das Vorzeichen nicht stimmt!
Gruss
Thomas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:56 Fr 13.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Roadrunner!
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> Danke! Aber entweder sehe ich den Wald vor lauter Bäume
> nicht, oder du hast die letzten Postings nicht genau
> gelesen. Die Ausgangssituation ist die Gleichung:
>
> [mm]\cos(x)+\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)=0[/mm]
>
> Somit kann die Umformung mittels [mm]\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1[/mm]
> nicht erfogen, da das Vorzeichen nicht stimmt!
Was ist los ???? Es ist [mm]\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1-\cos^{2}(x)[/mm] . Wenn Du das oben einträgst, bekommst Du:
[mm]\cos(x)+\cos^{2}(x)-(1-\cos^{2}(x))=0[/mm]
FRED
>
> Gruss
> Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 Fr 13.05.2011 | | Autor: | Dark.Rider |
Danke!!!
Ich habe [mm] \cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1 [/mm] statt [mm] \sin^{2}(x)=(1-\cos^{2}(x)) [/mm] vor den Augen gehabt!
Problem geloest!
Gruss
thomas
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Hallo Thomas!
[mm]\cos(x)+\cos^{2}(x)-\red{\sin^{2}(x)} \ = \ \cos(x)+\cos^{2}(x)-\red{\left[1-\cos^{2}(x)\right]} \ = \ \cos(x)+\cos^{2}(x)-1+\cos^{2}(x) \ = \ 0[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 Fr 13.05.2011 | | Autor: | Dark.Rider |
Danke :) Das waren die Bäume (liegt am Schwarzwald)!
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