Lösung eines Integrals < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen sie folgendes Integral
[mm] \integral {\bruch{x-1}{x^3-6x^2+11x-6}dx}
[/mm]
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[mm] \integral {\bruch{x-1}{x^3-6x^2+11x-6}dx}
[/mm]
Nullstellen für die Partialbruchzerlegung [mm] x_{1}=1; x_{2}=2;x_{3}=3
[/mm]
[mm] \bruch{x-1}{x^3-6x^2+11x-6} [/mm] = [mm] \bruch{x-1}{(x-1) (x-2) (x-3)}
[/mm]
[mm] \bruch{A}{(x-1)}+\bruch{B}{(x-2)}+\bruch{C}{(x-3)}
[/mm]
Nennerangleichung:
[mm] \bruch{x-1}{(x-1) (x-2) (x-3)} [/mm] = [mm] \bruch{A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)}{(x-1) (x-2) (x-3)}
[/mm]
(x-1) = A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)
Einsetzen x=1
0=A(1-2)(1-3)+ B(0) + C(0)
[mm] A=\bruch{1}{2}
[/mm]
Einsetzen x=2
2-1 = A(0)+B(-1)+C(0)
Einsetzen X=0
0-1 = 6A+3B+2C
-1 = 3-6+2C
2 = 2C
C = 1
[mm] \bruch{x-1}{x^3-6x^2+11x-6} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{2}}{(x-1)}+\bruch{2}{(x-2)}+\bruch{1}{(x-3)}
[/mm]
Wie berechne ich jetzt das Integral ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:11 Do 25.06.2009 | | Autor: | wauwau |
Denk mal an die Ableitung von ln(x)
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> (x-1) = A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)
>
> Einsetzen x=1
>
> 0=A(1-2)(1-3)+ B(0) + C(0)
[mm] \Rightarrow [/mm] 0=A*(-1)*(-2)
[mm] \Rightarrow [/mm] 0=2A
[mm] \Rightarrow [/mm] A=0
Oder habe ich gerade Tomaten auf den Augen?
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> Berechnen sie folgendes Integral
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> [mm]\integral {\bruch{x-1}{x^3-6x^2+11x-6}dx}[/mm]
>
> [mm]\integral {\bruch{x-1}{x^3-6x^2+11x-6}dx}[/mm]
>
> Nullstellen für die Partialbruchzerlegung [mm]x_{1}=1; x_{2}=2;x_{3}=3[/mm]
>
> [mm]\bruch{x-1}{x^3-6x^2+11x-6}[/mm] = [mm]\bruch{x-1}{(x-1) (x-2) (x-3)}[/mm]
Kann man denn hier nicht kürzen?!
> [mm]\bruch{A}{(x-1)}+\bruch{B}{(x-2)}+\bruch{C}{(x-3)}[/mm]
>
> Nennerangleichung:
>
> [mm]\bruch{x-1}{(x-1) (x-2) (x-3)}[/mm] =
> [mm]\bruch{A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)}{(x-1) (x-2) (x-3)}[/mm]
>
> (x-1) = A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)
>
> Einsetzen x=1
>
> 0=A(1-2)(1-3)+ B(0) + C(0)
>
> [mm]A=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Einsetzen x=2
>
> 2-1 = A(0)+B(-1)+C(0)
>
> Einsetzen X=0
>
> 0-1 = 6A+3B+2C
> -1 = 3-6+2C
> 2 = 2C
> C = 1
>
> [mm]\bruch{x-1}{x^3-6x^2+11x-6}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2}}{(x-1)}+\bruch{2}{(x-2)}+\bruch{1}{(x-3)}[/mm]
>
>
> Wie berechne ich jetzt das Integral ?
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 Do 25.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stephan!
> > [mm]\bruch{x-1}{x^3-6x^2+11x-6}[/mm] = [mm]\bruch{x-1}{(x-1) (x-2) (x-3)}[/mm]
>
> Kann man denn hier nicht kürzen?!
Ja, kann man. Aber es bleibt natürlich immer noch der entsprechende Definitionsbereich zu beachten, der auch [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 1$ ausschließt.
Gruß
Loddar
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