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Forum "Integration" - Lösung eines Integrals
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Lösung eines Integrals: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:24 Mo 02.11.2009
Autor: Kainor

Aufgabe
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{-1+cos(x)}} dx}= [/mm] ??? = [mm] \bruch{(2 *ln(Tan[x/4]) *Sin[x/2])}{\wurzel(-1 + Cos[x])} [/mm]

Das Ergebnis kenn ich aber der Weg dort hin ist mir ein Rätsel.

        
Bezug
Lösung eines Integrals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:55 Mo 02.11.2009
Autor: MathePower

Hallo Kainor,

> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{-1+cos(x)}} dx}=[/mm] ??? =
> [mm]\bruch{(2 *ln(Tan[x/4]) *Sin[x/2])}{\wurzel(-1 + Cos[x])}[/mm]


Das Problem ist, daß der Ausdruck unter der Wurzel [mm]\le 1[/mm] ist.

Stünde hier

[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-cos(x)}} dx}[/mm]

so wäre hiervon

[mm]2 *ln(Tan[x/4])[/mm]

eine Stammfunktion.


>  
> Das Ergebnis kenn ich aber der Weg dort hin ist mir ein
> Rätsel.


Gruss
MathePower

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Lösung eines Integrals: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:07 Mo 02.11.2009
Autor: Kainor

mMn ist der Ausdruck -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0
;) ,ja aber es muss ja trotzdem gehen. Das Ergebnis habe ich noch mal abgleitet und vereinfacht und es kommt tatsächlich raus (mit dem PC)

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Bezug
Lösung eines Integrals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 Mo 02.11.2009
Autor: MathePower

Hallo Kainor,

> mMn ist der Ausdruck -1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 0
> ;) ,ja aber es muss ja trotzdem gehen. Das Ergebnis habe
> ich noch mal abgleitet und vereinfacht und es kommt
> tatsächlich raus (mit dem PC)  


Nun, da hat man sich wohl mit einem Trick beholfen:

[mm]ln(Tan[x/4])*\blue{1}=ln(Tan[x/4])*\blue{\wurzel{2}*\bruch{Sin[x/2]}{\wurzel{1 - Cos[x]}}}[/mm]

Gemäß Additionstheoremen gilt:

[mm]1-\cos\left(x\right)=2*\sin^{2}\left(\bruch{x}{2}\right)[/mm]


Gruss
MathePower

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Lösung eines Integrals: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:03 Mo 02.11.2009
Autor: Kainor

Also ich versteh grad nicht wie mir das helfen soll

[mm] ln(Tan[x/4])\cdot{}\blue{1} [/mm] ist ja keine Lösung meine Integrals sondern von

1-cos(x) ... obwohl ich hatte mal ein Ansatz wo ich t=x/2 subst. habe und dann blieb da [mm] \wurzel{-2}=i*\wurzel{2} [/mm] unter der Wurzel stehen da würde ja dann die [mm] \wurzel{2} [/mm] von deinem Ansatz wegfallen, aber das i bleibt

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Bezug
Lösung eines Integrals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:17 Mo 02.11.2009
Autor: MathePower

Hallo Kainor,

> Also ich versteh grad nicht wie mir das helfen soll


Wendet man das Additionstheoorem

[mm]\cos\left(x\right)=1-2*\sin^{2}\left(\bruch{x}{2}\right)[/mm]

und anschliessend die trigonometrische Substitution

[mm]\tan\left(\bruch{x}{4}\right)=t[/mm]

an, dann kommt man auf die Stammfunktion

[mm]ln(Tan[x/4])[/mm]


>  
> [mm]ln(Tan[x/4])\cdot{}\blue{1}[/mm] ist ja keine Lösung meine
> Integrals sondern von


Beachte, daß [mm]-1+\cos\left(x}\right)=\left(-1\right)*\left(\cos\left(x\right)-1\right)[/mm]

Daher bleibt auch ein "i" im Nenner stehen.


>  
> 1-cos(x) ... obwohl ich hatte mal ein Ansatz wo ich t=x/2
> subst. habe und dann blieb da [mm]\wurzel{-2}=i*\wurzel{2}[/mm]
> unter der Wurzel stehen da würde ja dann die [mm]\wurzel{2}[/mm]
> von deinem Ansatz wegfallen, aber das i bleibt


Das ist richtig.


Gruss
MathePower

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Lösung eines Integrals: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:57 Mo 02.11.2009
Autor: Kainor

Vielen Dank für die Hilfe.

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