Lösung eines LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 So 03.02.2008 | | Autor: | SUNNY000 |
| Aufgabe | Folgende Aufgabe versuche ich momentan zu lösen:
Gegeben ist das LGS
2x1 + x2 + 2x4 + x5 = −2
−x1 + x3 − x4 = 1
2x1 + px2 + 2px3 + 2qx4 + 3x5 = 0
über [mm] \IQ.
[/mm]
Nach dem Gaußschen Verfahren ist zu untersuchen, ob das System lösbar ist, und gegebenenfalls eine Parameterdarstellung der Lösungsmenge zu berechnen. |
Nun würde das ganze als Matrix Ax ja wie folgt aussehen:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & -1 & 0\\2 & p & 2p & 2q & 3}
[/mm]
Ich weiss allerdings schon, dass es auf diese Matrix hinausläuft:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & -1 & 0\\2 & 8 & 16 & 38 & 3}
[/mm]
Die Frage ist: Warum?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 So 03.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
nun, du musst also diese vorgegebene Matrix in Zeilenstufenform bringen um mehr über sie zu erfahren.
D.h. du musst den Gauß-Algorithmus anwerfen, ein paar Fall unterscheidungen machen und dann gucken, was passiert.
Ich werde das LGS jetzt mal anfangen zu lösen, aber das einzige, was du machen musst ist konsequent Gauß durchzuziehen und die Fallunterscheidungen zu machen.
So, habs nun durch: Ich komme nicht auf deine Matrix, die du angegeben hast. Wie kommst du darauf?
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:48 So 03.02.2008 | | Autor: | SUNNY000 |
Ersteinmal besten Dank für die flotte Antwort. Es ist vielmehr so, dass ich die zweite Matrix nicht rausbekomme sondern vielmehr schon weiss, dass diese eine Umformung der ersten darstellt.
Wenn du dir die einzelnen zeilen anschaust dann ist klar, dass sich die beiden matrizen nur darin unterscheiden, dass in der zweiten für p und q jeweils Werte einsetzt sind.
Die Frage die ich mir nun stelle ist, wie man von p auf 8 schließt und von q auf 38?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 So 03.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
von wem hast du denn die untere Matrix? Ich habe mal den Gauß durchlaufen lassen, und komme auf eine schönes Ergebnis, das ich in Parameterdarstellung darstellen kann, wo immer noch p und q drinsteht...
Dein LGS hat ja einfach eine Lösung, die man mit Parametern darstellen muss, da du drei Gleichungen und fünf unbekannte hast. D.h. der Rang deiner Matrix kann höchsten drei werden. D.h. du kannst zwei variablen frei wählen, wenn man richtig rechnet, und das ist auch hier der Fall. Und deine Ebene, die du herausbekommst, hängt einfach davon ab, wie du p und q wählst...
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 So 03.02.2008 | | Autor: | SUNNY000 |
Etwas peinliche Sache.....Ich habe übersehen, dass p und q sehrwohl definiert sind
p=19 und q=22. Würde mich freuen Kroni wenn du mir noch deine Lösung des LGS postest, damit ich vergleichen kann. Ich werde meine gleich auch noch reinstellen, mal schauen ob ich es richtig verstanden habe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 So 03.02.2008 | | Autor: | SUNNY000 |
Ich habe das LGS nach Gauß nun auf folgende Lösung gebracht:
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 & -22 & -1,5 | 0\\ 0 & 1 & 0 & -42 & -2 | -2\\ 0 & 0 & 2 & 42 & 3 | 2}
[/mm]
mit der Zugehörigen Lösung:
Lös(A|b)={ [mm] \vektor{0 \\ -2\\2\\0\\0}+r\vektor{-22 \\ -42\\42\\1\\0}+s\vektor{-1,5 \\ -2\\3\\0\\1} [/mm] | r,s [mm] \in \IQ [/mm] }
Ist dies soweit korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 So 03.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
um zu überprüfen, ob dein Ergebnis richtig ist, kannst du ja einfach A*x berechnen und gucken, ob dein b herauskommt.
Ich komme beim Stützvektor auf [mm] \pmat{0\\-2\\1\\0\\0}
[/mm]
Beim zweiten Vektor komme ich auf [mm] \pmat{-22\\42\\-21\\1\\0} [/mm]
Beim letzen Vektor habe ich [mm] \pmat{8\\-17\\8\\0\\1}
[/mm]
Das scheint zu passen.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 So 03.02.2008 | | Autor: | SUNNY000 |
Ich danke dir. Mein Problem ist nun, dass ich so garnicht auf deine Lösung bzw. auf eine richtige Lösung komme. Ausgangsmatrix war ja:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & -1 & 0\\2 & 19 & 38 & 44 & 3}
[/mm]
Könntest du mir vielleicht deine Umformungen nennen in der form Z1 + 2Z2 falls es nicht so viele sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 So 03.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich hab das ganze allgemein gerechnet, und dann p und q eingesetzt, von daher wirds da etwas schwierig.
An sich musst du ja nur elementare Zeilentrafos machen, versuch es einfach nochmal. Falls es dann noch nicht klappt, werd ich mich später mal hinsetzen und das hinschreiben. Das wird dann allerdings dauern, weil ich gleich weg bin. Tut mir leid.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 So 03.02.2008 | | Autor: | SUNNY000 |
Danke dir aber ich denke das ist nicht nötig. ich glaube eine Lösung gefunden zu haben. wenn ich die Probe rechne, dann heisst das doch das ich A also die Ausgangsmatrix mit x also einem der Lösungsvektoren multipliziere, oder? Der Ergebnisvektor von Ax muss dann der Nullvektor sein?!
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