Lösung geometrischer Folgen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Weonde |
| Aufgabe | In ein 1. Quadrat der Seitenlänge 5 cm ist ein zweites Quadrat so einbeschrieben,
dass seine Eckpunkte die Mittelpunkte der Seiten des 1. Quadrats sind.
Auf die gleiche Weise wird in das 2. ein 3. Quadrat einbeschrieben und so unendlich fortgesetzt...
a) Zeigen Sie, dass die Umfänge der so entstandenen Quadrate eine geometrische Folge bilden und geben sie die entsprechenden Funktionsgleichung an.
b) Berechnen Sie die Summe aller unendlich vielen Quadratumfänge!
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Hallo liebe Matheraum-Mitglieder...
Ich poste hier meine Frage aus Verzweiflung heraus. Ich war 4 Wochen außer Gefecht gesetzt und habe gestern in Mathe erfahren, dass ich doch die Klausur mitschreiben muss. Nur leider ist der Termin der 25.
Ich stehe zur Zeit vor dem Nichts, habe das Thema verpasst und durch die tolle Versorgung meiner Schule, besitzt unser Kurs nichtmal ein Buch.
Kann jemand mir diese beiden Aufgaben bitte so gut wie irgendwie möglich(verständlich) erklären?
Meine Idee wäre hier zu Anfang, mit Pythagoras zu arbeiten...
Allerdings weiß ich leider dann nicht mehr weiter...
Vielen Dank bereits im Vorraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Sa 22.11.2008 | | Autor: | janmoda |
Hallo Weonde,
die Idee mit dem Satz des Pythagoras an die Aufgabe heran zu gehen ist gut!
Zu Aufgabe a:
Der Umfang des 2. Quadrats lässt sich berechnen durch die vierfache Addition der Seitenlänge des 2. Quadrats. Die Seitenlänge des 2. Quadrats können wir durch den Satz des Pythagoras errechnen:
[mm] \wurzel{2*\bruch{5}{2}^{2}}=\bruch{5\wurzel{2}}{2}
[/mm]
drittes Quadrat:
[mm] \wurzel{2*\bruch{(\bruch{5\wurzel{2}}{2})}{2}^{2}}=2,5
[/mm]
viertes Quadrat:
[mm] \wurzel{2*\bruch{2,5}{2}^{2}}=\bruch{5\wurzel{2}}{4}
[/mm]
fünftes Quadrat:
[mm] \wurzel{2*\bruch{(\bruch{5\wurzel{2}}{4})}{2}^{2}}=1,25
[/mm]
vervierfachen wir nun die erhaltenen Seitenlängen erhalten wir den Umfang:
1. Q. -> 4*5=20
2. Q. -> [mm] 4*\bruch{5\wurzel{2}}{2}=10\wurzel{2}
[/mm]
3. Q. -> 4*2,5=10
4. Q. -> [mm] 4*\bruch{5\wurzel{2}}{4}=5\wurzel{2}
[/mm]
5. Q. -> 4*1,25=5
usw.
Wir können nun eine Folge für die Quadrate gerader und ungerader Ordnung erkennen. Der Umfang zum nächsten Qadrat geraden bzw. ungerade Ordnung halbiert sich. Daraus folgt:
Für n{3;5;7;9;...} ist der Umfang durch die Formel [mm] \bruch{20}{n-1} [/mm] zu errechnen
Für n{2;4;6;8;10;...} ist der Umfang durch die Formel [mm] \bruch{20\wurzel{2}}{n} [/mm] zu errechnen
Ich hoffe das hilft dir zumindest einen Schritt weiter!
Besten Gruß aus Darmstadt
Jan
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Hallo Weonde!
Die Umfänge der einzelnen Quadrate beträgt ja nun:
[mm] $$u_n [/mm] \ = \ [mm] \begin{cases} 4*5 \ = \ 20, & \mbox{für } n=0 \mbox{ } \\ 4*5*\left(\bruch{1}{\wurzel{2}}\right)^n, & \mbox{für } n \ \ge \ 1 \mbox{ } \end{cases}$$
[/mm]
Für die Gesamtsumme aller Umfänge verwende nun die Summenformel für die geometrische Reihe:
[mm] $$s_n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}a_0*q^k [/mm] \ = \ [mm] a_0*\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$s_{\infty} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_0*q^k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a_0}{1-q}$$
[/mm]
Setze hier nun ein [mm] $a_0 [/mm] \ = \ 20$ sowie $q \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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