Lösung lineares System < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) [mm] X'(t)=\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 3 }X(t)
[/mm]
b) [mm] X'(t)=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 0 }X(t)
[/mm]
Bestimme die allgemeine Lösung!
Charakterisiere den Gleichgewichtspunkt 0!
Zeichne ein Phasenportrait! |
zu a)
a) [mm] X'(t)=\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 3 }X(t)
[/mm]
oder auch geschrieben als:
[mm] x'_1=1x_1+1x_2
[/mm]
[mm] x'_2=-1x_1+3x_2
[/mm]
Die nCharakteristische Gleichung lautet also:
[mm] (1-\lambda)(3-\lambda)+1=0
[/mm]
[mm] \lambda=2
[/mm]
Dien allgemeine Lösung ist also: [mm] y=C_1*e^{2x} [/mm]
Stimmt das?
Was mit der Charakterisierung des Gleichgewichtspunktes gemeint ist weiß ich leider nicht wirklich. Was soll ich hier zeigen?
Ich weiß nur, dass [mm] \lambda\in \IR [/mm] und [mm] \lambda [/mm] >0 und daher muss der Gleichgewichtspunkt ein instabiler Knotenpunkt 3.Art sein.
Und wie zeichne ich nun ein Phasenportrait? Das ist mir nun noch völlig unbekannt. ich weiß nicht wie ich das hierbei machen soll weiß ich nicht..
b)b) [mm] X'(t)=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 0 }X(t)
[/mm]
[mm] x'_1=1x_1+1x_2
[/mm]
[mm] x'_2=-1x_1+0x_2
[/mm]
Charakteristische Gleichung:
[mm] (1-\lambda)(-\lambda)+1=0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\pmv\wurzel{\bruch{1}{4}-1}
[/mm]
hmm...aber von eine rnegativen Zahl kann ich ja keine Wurzel ziehen...oder habe ich bei der charakteristischen Gleichung einen Fehler gemacht?
Über Tipps wäre ich sehr dankbar!
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:00 So 27.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du suchst doch keine Lösung y(x)? sondern eine (x(t),y(t))?
und du hast eine doppelte Nullstelle und sicher was dazu gelernt und auch was von Eigenvektoren?
Gruss leduart
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Kannst du mir vielleicht genau sagen was falsch ist? Oder habe ich nur die Bezeichnungen unglücklich gewählt?
Ich habe mich bei der Aufgabe an das Vorgehen in einem Buch orientiert, da in der VL bisher nur ein Beispiel besprochen wurde (und zwar auf die Art wie ich es eben gelöst habe)
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:46 So 27.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Kannst du mir vielleicht genau sagen was falsch ist?
Die Lösungen des Systems sind keine skalaren Funktionen, sondern Funktionen X: [mm] \IR \to \IR^2
[/mm]
> Oder
> habe ich nur die Bezeichnungen unglücklich gewählt?
Nein. Du hast keine Ahnung, wie man homogene lin. Systeme 1. Ordnung löst.
Also mach Dich schlau. Vorher hat Hilfe in diesem Forum wenig Sinn.
>
> Ich habe mich bei der Aufgabe an das Vorgehen in einem Buch
> orientiert, da in der VL bisher nur ein Beispiel besprochen
> wurde (und zwar auf die Art wie ich es eben gelöst habe)
Das möchte ich sehen ......
FRED
>
> Mathegirl
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Sorry aber ich weiß es wirklich nicht!!!!
Genau so war das Vorgehen in Mathematik für Ingenieure und naturwissenschaftler von Papula.
Und auch in der Vorlesung wurde ein Beispiel so abgearbeitet!!!
Es wäre nett wenn ihr es mir erklären könnt, wie man sonst so ein lineares System löst!
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 So 27.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier
http://www.binomi.de/pdf/dgl1.pdf
5.2.5 "Kochrezept"
FRED
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Jetzt versteh ich gar nichts mehr!! Das ist wieder komplett anders als in der VL besprochen. Ich will doch nur die allgemeine Lösung finden und den Gleichgewichtspunkt charakterisieren!!!
Naja..ich gebe es auf!
Weil ich verstehe es so wirklich nicht! Und so haben wir das auch in der VL nicht gemacht.
http://www.math.kit.edu/iag1/lehre/am22011s/media/loesungen8.pdf Ich kenne nur das verfahren wie in Aufgabe 37, anders versteh ich snicht...
Aber danke für die Tipps!
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 So 27.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich habe mir deine aufgabe 37 angesehen.
Auch da steht ein Vektor, einziger Unterschied, [mm] \vec{u} [/mm] hängt von x statt von t ab.
es wurden die Eigenvektoren der Matrix bestimmt, zu den berechneten Eigenwerten. Dann wurdeN DIE EIGENVEKTOREN mit den exp. Funktionen multipliziert.
Nichts davon hast du gemacht.
in Aufgabe 38 ist dann ein Beispil mit dreifachem eigenwert, das du auf dein Bsp mit 2 fachem eigenwert übertragen kannst.
Du musst also schon sagen, was du daran nicht oder falsch verstanden hast.
irgendwie ist dir nicht aufgegangen, dass du die lösung für eine funktion [mm] \vec{x(t)}=\vektor{x_1(t)\\x_2(t)} [/mm] suchst
der auf deinem Blatt statt [mm] \vec{u(x)}=\vektor{u_1(t)\\u_2(t)}
[/mm]
heißt.
Also nochmal: geh vor wie in deinem Zitat, und beachte 37 und 38
Dann frag nach, an den Stellen wo es aushakt.
Gruss leduart
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[mm] X'(t)=\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 3 }
[/mm]
[mm] X(t)=\pmat{ x(t) \\ x'(t) }
[/mm]
Charakteristische Gleichung von A:
[mm] det(A-\lambda I)=\pmat{ 1-\lambda & -1 \\ 1 & 3-\lambda }
[/mm]
[mm] =(1-\lambda)(3-\lambda)+1
[/mm]
[mm] =\lambda^2-4\lambda+4=0
[/mm]
EW: [mm] \lambda=2
[/mm]
EV zu [mm] \lambda=2: C^1=\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
die allgemeine Lösung des systems: [mm] X(t)=\alpha\vektor{1 \\ 2}*e^{-2t}
[/mm]
Ist es jetzt richtig?
Aber bei der b) komme ich nicht weiter, weil ich dort keinen EW erhalte..
[mm] X'(t)=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 0 }X(t)
[/mm]
[mm] X(t)=\vektor{x(t) \\ x'(t)}
[/mm]
Charakteristsiche Gleichung von A:
[mm] det(A-\lambda I)=\pmat{ 1-\lambda & 1 \\ -1 & 0-\lambda }
[/mm]
[mm] =-\lambda(1-\lambda [/mm] )+1
[mm] =\lambda^2-\lambda+1=0
[/mm]
Hieraus herhalte ich keine Lösung für [mm] \lambda [/mm]
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> [mm]X'(t)=\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 3 }[/mm]
> [mm]X(t)=\pmat{ x(t) \\ x'(t) }[/mm]
>
> Charakteristische Gleichung von A:
>
> [mm]det(A-\lambda I)=\pmat{ 1-\lambda & -1 \\ 1 & 3-\lambda }[/mm]
>
> [mm]=(1-\lambda)(3-\lambda)+1[/mm]
> [mm]=\lambda^2-4\lambda+4=0[/mm]
>
> EW: [mm]\lambda=2[/mm]
> EV zu [mm]\lambda=2: C^1=\vektor{1 \\ 2}[/mm]
>
Der EV zum EW 2 stimmt nicht.
> die allgemeine Lösung des systems: [mm]X(t)=\alpha\vektor{1 \\ 2}*e^{-2t}[/mm]
>
> Ist es jetzt richtig?
>
Leider nein.
> Aber bei der b) komme ich nicht weiter, weil ich dort
> keinen EW erhalte..
>
> [mm]X'(t)=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 0 }X(t)[/mm]
>
> [mm]X(t)=\vektor{x(t) \\ x'(t)}[/mm]
>
> Charakteristsiche Gleichung von A:
> [mm]det(A-\lambda I)=\pmat{ 1-\lambda & 1 \\ -1 & 0-\lambda }[/mm]
>
> [mm]=-\lambda(1-\lambda[/mm] )+1
> [mm]=\lambda^2-\lambda+1=0[/mm]
>
> Hieraus herhalte ich keine Lösung für [mm]\lambda[/mm]
>
Die Gleichung hat Lösungen in [mm]\IC[/mm]
>
>
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Kannst du mir zeigen wie es bei a und b richtig ist?
Ich habe mich echt bemüht aber ich kriege es nicht hin :(
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 So 27.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bitte schreib auf, wie due einen Eigenvektor ausrechnest, dann können wir helfen.
zu b) bestimme erst mal die komplexen Eigenwerte
[mm] e^{at} [/mm] a komplex kann eben auch eine Losung sein.
Du muss uns wirklich deine - auch falschen- Rechnungen zeigen
dann musst du viel tippen, wir nur verbessern und wir sehen wo du Fehler machst.
Gruss leduart
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der EV zu [mm] \lambda=2 [/mm] muss sein: [mm] C^1=\vektor{-1 \\ 1}Und [/mm] die allgemeine Lösung lautet dann:
[mm] X(t)=\alpha\vektor{-1 \\ 1}*e^{-2t}
[/mm]
Aber was heißt nun "charakterisieren sie den Gleichgewichtspunkt"?
Zu b) hab ich keine Ahnung und ich weiß auch nicht was mit komplexen Eigenwerten gemeint ist. ich kann auch keine Lösung hierzu angeben, weil ich es wirklich nicht weiß!
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> der EV zu [mm]\lambda=2[/mm] muss sein: [mm]C^1=\vektor{-1 \\ 1}Und[/mm] die
> allgemeine Lösung lautet dann:
>
> [mm]X(t)=\alpha\vektor{-1 \\ 1}*e^{-2t}[/mm]
Hier brauchst Du noch eine 2. linear unabhängige Lösung.
Um diese zu bestimmen, machst Du den Ansatz
[mm]x\left(t\right)=\left( \ \overrightarrow{a}+t*\overrightarrow{b} \ \right)*e^{2t}[/mm]
> Aber was heißt nun
> "charakterisieren sie den Gleichgewichtspunkt"?
>
> Zu b) hab ich keine Ahnung und ich weiß auch nicht was mit
> komplexen Eigenwerten gemeint ist. ich kann auch keine
> Lösung hierzu angeben, weil ich es wirklich nicht weiß!
>
Löse doch einfach die Gleichung
[mm]\lambda^2-\lambda+1=0[/mm]
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Aber es gibt doch für [mm] \lambda [/mm] nur eine Lösung!
> [mm]x\left(t\right)=\left( \ \overrightarrow{a}+t*\overrightarrow{b} \ \right)*e^{2t}[/mm]
was ist denn hier a und b?
Wenn ich von [mm] \lambda^2-\lambda+1=0 [/mm] die Lösung berechnen will:
[mm] \bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}-1}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\pm\wurzel{-\bruch{3}{4}}
[/mm]
Und wegen der negativen Wurzel erhalte ich keine Lösung!
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 So 27.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Aber es gibt doch für [mm]\lambda[/mm] nur eine Lösung!
>
>
> > [mm]x\left(t\right)=\left( \ \overrightarrow{a}+t*\overrightarrow{b} \ \right)*e^{2t}[/mm]
>
> was ist denn hier a und b?
a und b sollst Du bestimmen. gehe mit [mm]x\left(t\right)=\left( \ \overrightarrow{a}+t*\overrightarrow{b} \ \right)*e^{2t}[/mm] in das System ein !
>
>
> Wenn ich von [mm]\lambda^2-\lambda+1=0[/mm] die Lösung berechnen
> will:
>
> [mm]\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}-1}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{2}\pm\wurzel{-\bruch{3}{4}}[/mm]
>
> Und wegen der negativen Wurzel erhalte ich keine Lösung!
Schon mal was von komplexen Zahlen gehört ?
FRED
>
>
> Mathegirl
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ich gebs auf, ich kriegs wirklich nicht hin, sitze schon nun den ganzen Nachmittag dran und komme zu gar nichts..heute Abend ist Abgabe!
Aber danke für die Tipps und die Geduld!
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 So 27.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
$ [mm] \lambda^2-\lambda+1=0 [/mm] $
In [mm] \IC [/mm] gelöst:
$ [mm] \bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}-1} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1}{2}\pm\wurzel{-\bruch{3}{4}} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1}{2}\pm\wurzel{-1\cdot\bruch{3}{4}} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1}{2}\pm\wurzel{-1}\cdot\sqrt{\bruch{3}{4}} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1}{2}\pm i\cdot\sqrt{\bruch{3}{4}} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1\pm i\cdot\sqrt{3}}{2} [/mm] $
Marius
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[mm] \lambda_1=\bruch{1+i*\wurzel{3}}{2} [/mm] mit EV [mm] C^1=\vektor{1 \\ -1}
[/mm]
[mm] \lambda_2=\bruch{1-i*\wurzel{3}}{2} [/mm] mit EV [mm] C^2=\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
die allgemeine Lösung ist dann:
[mm] X(t)=\alpha_1\vektor{1 \\ -1}*e^{\bruch{1+i*\wurzel{3}}{2}}+\alpha_2\vektor{1 \\ 0}*e^{\bruch{1-i*\wurzel{3}}{2}}
[/mm]
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> [mm]\lambda_1=\bruch{1+i*\wurzel{3}}{2}[/mm] mit EV [mm]C^1=\vektor{1 \\ -1}[/mm]
>
> [mm]\lambda_2=\bruch{1-i*\wurzel{3}}{2}[/mm] mit EV [mm]C^2=\vektor{1 \\ 0}[/mm]
>
Hier stimmen auch die EV's nicht.
> die allgemeine Lösung ist dann:
> [mm]X(t)=\alpha_1\vektor{1 \\ -1}*e^{\bruch{1+i*\wurzel{3}}{2}}+\alpha_2\vektor{1 \\ 0}*e^{\bruch{1-i*\wurzel{3}}{2}}[/mm]
>
> Mathegirl
>
Gruss
MathePower
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Wie bestimmt man denn die EV?
Aus der Vorlesung weiß ich nur, dass es die "Diagonalen" einer Matrix sind. Daher habe ich die so gewählt...
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 So 27.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Eigenvektoren zu A sind die Vektoren, für die gilt [mm] A*x=\lambda*x
[/mm]
das ist ein einfache lineares GS für die Komponenten x1,x2 von x
Gruss leduart
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[mm] \lambda_1=\bruch{1+i*\wurzel{3}}{2} [/mm] mit EV [mm] C^1=\vektor{1 \\ \bruch{1+i*\wurzel{3}}{2}}
[/mm]
[mm] \lambda_2=\bruch{1-i*\wurzel{3}}{2} [/mm] mit EV [mm] C^2=\vektor{1 \\ \bruch{1-i*\wurzel{3}}{2}}
[/mm]
die allgemeine Lösung ist dann:
[mm] X(t)=\alpha_1\vektor{1 \\ \bruch{1+i*\wurzel{3}}{2}}*e^{\bruch{1+i*\wurzel{3}}{2}}+\alpha_2\vektor{1 \\ \bruch{1-i*\wurzel{3}}{2}}*e^{\bruch{1-i*\wurzel{3}}{2}}
[/mm]
Jetzt richtig?
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> [mm]\lambda_1=\bruch{1+i*\wurzel{3}}{2}[/mm] mit EV [mm]C^1=\vektor{1 \\ \bruch{1+i*\wurzel{3}}{2}}[/mm]
>
Hier muss stehen: [mm]C^1=\vektor{1 \\ \bruch{\blue{-}1+i*\wurzel{3}}{2}}[/mm]
> [mm]\lambda_2=\bruch{1-i*\wurzel{3}}{2}[/mm] mit EV [mm]C^2=\vektor{1 \\ \bruch{1-i*\wurzel{3}}{2}}[/mm]
>
Ebenso hier: [mm]C^2=\vektor{1 \\ \bruch{ \blue{-}1-i*\wurzel{3}}{2}}[/mm]
> die allgemeine Lösung ist dann:
> [mm]X(t)=\alpha_1\vektor{1 \\ \bruch{1+i*\wurzel{3}}{2}}*e^{\bruch{1+i*\wurzel{3}}{2}}+\alpha_2\vektor{1 \\ \bruch{1-i*\wurzel{3}}{2}}*e^{\bruch{1-i*\wurzel{3}}{2}}[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]X(t)=\alpha_1\vektor{1 \\ \bruch{-1+i*\wurzel{3}}{2}}*e^{\bruch{1+i*\wurzel{3}}{2}\red{t}}+\alpha_2\vektor{1 \\ \bruch{-1-i*\wurzel{3}}{2}}*e^{\bruch{1-i*\wurzel{3}}{2}\red{t}}[/mm]
> Jetzt richtig?
>
Dies ist allerdings die komplexe Lösung.
>
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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oh ja, das t hab ich ganz vergessen....die komplexe Lösung?
Ich dachte das wäre die allgemeine Lösung?
Wie erhalte ich denn dann die allgemeine Lösung????? Im Buch ist so die allgemeine Lösung eines Systems angegeben...
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> oh ja, das t hab ich ganz vergessen....die komplexe
> Lösung?
> Ich dachte das wäre die allgemeine Lösung?
>
> Wie erhalte ich denn dann die allgemeine Lösung????? Im
> Buch ist so die allgemeine Lösung eines Systems
> angegeben...
>
Wenn die Lösung so auch im Buch angegeben ist,
dann wird das seine Richtigkeit haben.
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Die Lösung ist in der Form (was du komplexe Lösung genannt hast) bei folgendem Beispiel angegeben:
[mm] X'(t)=\pmat{ 0 & 1 \\ -2 & -3 }
[/mm]
allg. Lösung: [mm] X(t)=\alpha_1\vektor{1 \\ -2}*e^{-2t}+\alpha_2\vektor{1 \\ -1}*3^{-t}
[/mm]
Aber vielleicht kannst du mir ja doch nochmal kurz erklären was eine komplexe Lösung ist.
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Die Lösung ist in der Form (was du komplexe Lösung
> genannt hast) bei folgendem Beispiel angegeben:
>
> [mm]X'(t)=\pmat{ 0 & 1 \\ -2 & -3 }[/mm]
>
> allg. Lösung: [mm]X(t)=\alpha_1\vektor{1 \\ -2}*e^{-2t}+\alpha_2\vektor{1 \\ -1}*3^{-t}[/mm]
>
> Aber vielleicht kannst du mir ja doch nochmal kurz
> erklären was eine komplexe Lösung ist.
>
Nun, da komplexe EWe vorhanden sind,
gibt es auch eine komplexe Lösung.
Die komplexe Lösung wiederum,
kann durch geschickte Wahl der Konstanten,
in eine reelle Lösung überführt werden.
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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okay, vielen Dank!
Ich habe eben von meinem Tutor erfahren, dass man die Eulersche Formel benutzen muss und nur die komplexe Lösung korrekt ist, das diese Lösung die hier bei rausgekommen ist wäre so nicht korrekt!
Könnt ihr mir erklären was mit Eulerscher Formel gemeint ist? Wo muss ich die anwenden?
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> okay, vielen Dank!
>
> Ich habe eben von meinem Tutor erfahren, dass man die
> Eulersche Formel benutzen muss und nur die komplexe Lösung
> korrekt ist, das diese Lösung die hier bei rausgekommen
> ist wäre so nicht korrekt!
>
> Könnt ihr mir erklären was mit Eulerscher Formel gemeint
> ist? Wo muss ich die anwenden?
>
Gemäß eulerscher Formel gilt:
[mm]e^{i*\omega t}=\cos\left(\omega t\right)+i*\sin\left(\omega t\right)[/mm]
Für [mm]\omega[/mm] setzt Du eine reelle Zahl ein.
Hier sind für [mm]\omega[/mm] die Imaginärteile der komplexen EWe einzusetzen.
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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:( das verstehe ich nun gar nicht :(
setze ich für w die 2 ein?
Nun hab ich gar keine Idee mehr wie meine richtige allgemeine Lösung lauten muss, wenn ich die Eulersche Formel nun noch anwenden muss :(
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> :( das verstehe ich nun gar nicht :(
>
> setze ich für w die 2 ein?
>
Nein.
> Nun hab ich gar keine Idee mehr wie meine richtige
> allgemeine Lösung lauten muss, wenn ich die Eulersche
> Formel nun noch anwenden muss :(
>
>
Wir haben komplexe EWe:
[mm]\lambda_{1,2}=\bruch{1 \pm i\cdot{}\wurzel{3}}{2}[/mm]
Dann lautet die Lösungsfunktion
[mm]e^{\lambda_{1,2}t}=e^{\bruch{1\pm i\cdot{}\wurzel{3}}{2}t}=e^{\bruch{1}{2}t}\left(\ \cos\left(\bruch{\wurzel{3}}{2}*t\right) \pm i*\sin\left(\bruch{\wurzel{3}}{2}*t\right)[/mm]
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Die Lösungsfunktion ist die allgemeine Lösung oder wie kann ich das verstehen?
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Die Lösungsfunktion ist die allgemeine Lösung oder wie
> kann ich das verstehen?
>
Die Lösungsfunktion gehört zu einem EW.
Beide Lösungsfunktionen zusammen mit den zugehörigen EVn,
ergeben dann die allgemeine Lösung des Systems.
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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kannst du mir die allgemeine Lösung nochmal posten? :(
Ich habe die aufgabe zwar falsch per mail abgesendet aber ich würde es für mich zum verständnis gerne nochmal richtig haben.
Danke für deine Geduld, ich hoffe beim nächsten mal kriege ich das besser hin!
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> kannst du mir die allgemeine Lösung nochmal posten? :(
>
[mm]X\left(t\right)=c_{1}*\[\begin{pmatrix}1\cr -\frac{\sqrt{3}\,i+1}{2}\end{pmatrix}\ \[{e}^{\frac{t}{2}}\,\left( \mathrm{cos}\left( \frac{\sqrt{3}\,t}{2}\right) -i\,\mathrm{sin}\left( \frac{\sqrt{3}\,t}{2}\right) \right) \]+c_{2}\[\begin{pmatrix}1\cr \frac{\sqrt{3}\,i-1}{2}\end{pmatrix}\ \ {e}^{\frac{t}{2}}\,\left( i\,\mathrm{sin}\left( \frac{\sqrt{3}\,t}{2}\right) +\mathrm{cos}\left( \frac{\sqrt{3}\,t}{2}\right) \right) \][/mm]
> Ich habe die aufgabe zwar falsch per mail abgesendet aber
> ich würde es für mich zum verständnis gerne nochmal
> richtig haben.
>
> Danke für deine Geduld, ich hoffe beim nächsten mal
> kriege ich das besser hin!
>
>
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 3 }*(\vec{a}+t*\vec{b})*e^{2t} [/mm] ??
Und dadurch [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] bestimmen?
Da muss ich das aber erstmal umschreiben weil so kann ich das nicht berechnen...nur wie?
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 3 }*(\vec{a}+t*\vec{b})*e^{2t}[/mm] ??
>
Die Gleichung lautet doch:
[mm]\left( \ (\vec{a}+t*\vec{b})*e^{2t} \ \right)'=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 3 }*(\vec{a}+t*\vec{b})*e^{2t}[/mm]
> Und dadurch [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] bestimmen?
>
> Da muss ich das aber erstmal umschreiben weil so kann ich
> das nicht berechnen...nur wie?
Führe einen Koeffizientenvergleich durch, d.h.
vergleiche die Koeffizienten [mm]t^{1}*e^{2t}, \ t^{0}*e^{2t}[/mm]
auf beiden Seiiten. Das führt zu einem
Gleichungssystem, woraus Du [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] bestimmen kannst.
>
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Wie genau führt man einen Koeffizientenvergleich hier durch?
Ich kenne Koeffizientenvergleich bisher nur bei "normalen" Polynomen.
[mm] t^0*e^{2t}=?
[/mm]
[mm] t^1*e^{2t}=?
[/mm]
Oder wie ist Koeffizientenvergleich gemeint?
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Wie genau führt man einen Koeffizientenvergleich hier
> durch?
> Ich kenne Koeffizientenvergleich bisher nur bei "normalen"
> Polynomen.
>
> [mm]t^0*e^{2t}=?[/mm]
> [mm]t^1*e^{2t}=?[/mm]
>
> Oder wie ist Koeffizientenvergleich gemeint?
>
Sortiere die Gleichung so, daß da steht:
[mm]\alpha*e^{2t}+ \beta*t*e^{2t}=\gamma*e^{2t}+\delta*t*e^{2t}[/mm]
Dann ist [mm]\alpha[/mm] mit [mm]\gamma[/mm]
und [mm]\beta[/mm] mit [mm]\delta[/mm] zu vergleichen.
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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ich verstehe nicht wie ich das vergleichen soll! Ist das alles für diese Aufgabe wirklich relevant, also ist diese Aufgabe tatsächlich so "kompliziert" zu lösen?
Ich frage bloß, weil die letzten Übungsaufgaben fast immer mehr oder weniger als falsch gewertet wurden die ich hier im Forum erklären lassen habe...das verstehe ich auch nicht :(
Kann man [mm] C^2 [/mm] auch einfacher berechnen wenn man dieses lineare System vorliegen hat bzw muss es immer ein [mm] C^2 [/mm] geben?
okay, ich versuche es mal mit dem Koeffizientenvergleich:
[mm] \alpha*e^{2t}=\gamma*e^{2t}
[/mm]
[mm] \beta*t*e^{2t}=\delta*t*e^{2t}
[/mm]
und wie gehe ich jetzt vor?
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> ich verstehe nicht wie ich das vergleichen soll! Ist das
> alles für diese Aufgabe wirklich relevant, also ist diese
> Aufgabe tatsächlich so "kompliziert" zu lösen?
Natürlich kannst Du aus dem System 1. Ordnung eine
lineare DGL 2. Ordnung basteln.
> Ich frage bloß, weil die letzten Übungsaufgaben fast
> immer mehr oder weniger als falsch gewertet wurden die ich
> hier im Forum erklären lassen habe...das verstehe ich auch
> nicht :(
>
> Kann man [mm]C^2[/mm] auch einfacher berechnen wenn man dieses
> lineare System vorliegen hat bzw muss es immer ein [mm]C^2[/mm]
> geben?
>
> okay, ich versuche es mal mit dem Koeffizientenvergleich:
>
> [mm]\alpha*e^{2t}=\gamma*e^{2t}[/mm]
> [mm]\beta*t*e^{2t}=\delta*t*e^{2t}[/mm]
>
[mm]\alpha, \ \beta, \ \gamma, \ \delta[/mm] stehen für die Koeffizienten
in der Gleichung
[mm]\left( \ (\vec{a}+t\cdot{}\vec{b})\cdot{}e^{2t} \ \right)'=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 3 }\cdot{}(\vec{a}+t\cdot{}\vec{b})\cdot{}e^{2t} [/mm]
> und wie gehe ich jetzt vor?
>
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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jetzt verstehe ich nichts mehr!!! Brauche ich nun unbedingt noch das [mm] C^2 [/mm] oder reicht das [mm] \lambda=2 [/mm] nicht schon aus?
Was mache ich jetzt bei dem Koeffizientenvergleich?
Berechne ich damit jetzt das [mm] C^2? [/mm] Wenn ja, wie?
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> jetzt verstehe ich nichts mehr!!! Brauche ich nun unbedingt
> noch das [mm]C^2[/mm] oder reicht das [mm]\lambda=2[/mm] nicht schon aus?
>
> Was mache ich jetzt bei dem Koeffizientenvergleich?
>
Ausgehend von
[mm] \left( \ (\vec{a}+t\cdot{}\vec{b})\cdot{}e^{2t} \ \right)'=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 3 }\cdot{}(\vec{a}+t\cdot{}\vec{b})\cdot{}e^{2t} [/mm]
ergibt sich zunächst
[mm] \left( \ \vec{b}+2*\left(\vec{a}+t*\vec{b}\right) \ \right)*e^{2t}=A\cdot{}(\vec{a}+t\cdot{}\vec{b})\cdot{}e^{2t} [/mm]
mit [mm]A=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 3 }[/mm]
bzw.
[mm]\left(\vec{b}+2*\vec{a}+2t*\vec{b}\right)e^{2t}=\left(A\vec{a}+A\vec{b}*t\right)e^{2t}[/mm]
Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:
[mm]\vec{b}+2*\vec{a}=A\vec{a}[/mm]
[mm]2*\vec{b}=A\vec{b}[/mm]
Erkennbar ist, daß [mm]\vec{b}[/mm] ein EV zum EW 2 ist.
Gesucht ist dann ein [mm]\vec{a}[/mm], das durch die Matrix [mm]A-2*I[/mm],
wobei I die Einheitsmatrix ist, auf den [mm]\vec{b}[/mm] abgebildet wird:
[mm]\left(A-2*I\right) \vec{a}=\vec{b}[/mm]
> Berechne ich damit jetzt das [mm]C^2?[/mm] Wenn ja, wie?
>
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Kannst du mir das vielleicht bis zum Ende zeigen? Mir fällt das echt schwer das nachzuvollziehen und ich weiß auch um ehrlich zu sein nicht genau wie es weiter geht.
Vielleicht kannst du mir das an dem Beispiel zuende zeigen und ich poste meine Lösung bei der nächsten Aufgabe von Anfang bis Ende, denn wie wird wohl leider genau so gelöst weil ich nur [mm] C^1 [/mm] erhalte. Vielleicht kriege ich das dann alleine hin.
Vielen Dank für die Geduld das alles zu erklären 
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Kannst du mir das vielleicht bis zum Ende zeigen? Mir
> fällt das echt schwer das nachzuvollziehen und ich weiß
> auch um ehrlich zu sein nicht genau wie es weiter geht.
>
> Vielleicht kannst du mir das an dem Beispiel zuende zeigen
> und ich poste meine Lösung bei der nächsten Aufgabe von
> Anfang bis Ende, denn wie wird wohl leider genau so gelöst
> weil ich nur [mm]C^1[/mm] erhalte. Vielleicht kriege ich das dann
> alleine hin.
>
Als [mm]\vec{b}[/mm] nehmen wir den schon ermittelten EV zum EW 2:
[mm]\vec{b}=\pmat{-1 \\ 1}[/mm]
Dann muss noch das Gleichungssystem
[mm]\left(A-2*I\right)\vec{a}=\vec{b}[/mm]
gelöst werden:
[mm]\left(\pmat{1 & -1 \\ 1 & 3}-2*\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}\right)\pmat{a_{1} \\ a_{2}}=\pmat{-1 \\ 1}[/mm]
[mm]\gdw \pmat{-1 & -1 \\ 1 & 1}\pmat{a_{1} \\ a_{2}}=\pmat{-1 \\ 1}[/mm]
[mm]\gdw \pmat{-a_{1}-a_{2} \\ a_{1}+a_{2}}=\pmat{-1 \\ 1}[/mm]
[mm]\gdw \left(a_{1}+a_{2}\right)\pmat{-1 \\ 1}=\pmat{-1 \\ 1}[/mm]
Damit reduziert sich die Bestimmung der Lösungsmenge auf die Gleichung
[mm]a_{1}+a_{2}=1[/mm]
Damit folgt die Lösung [mm]a_{1}=1-a_{2}, \ a_{2}=s[/mm]
bzw. [mm]\pmat{a_{1} \\ a_{2}}=\pmat{1 \\ 0}+ s\pmat{-1 \\ 1}[/mm]
Wählen wir s=0, so ist [mm]\pmat{a_{1} \\ a_{2}}=\pmat{1 \\ 0}[/mm]
Damit ist die 2. Lösung
[mm]\left( \ \pmat{1 \\ 0}+t*\pmat{-1 \\ 1} \ \right)*e^{2t}[/mm]
> Vielen Dank für die Geduld das alles zu erklären
>
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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also ist die allgemeine Lösung:
[mm] X(t)=\alpha_1\vektor{-1 \\ 1}+\alpha_2(\vektor{1 \\ 0}+t*\vektor{-1 \\ 1})*e^{2t} [/mm] ?
Gibt es eigentlich ein Programm, mit dem ich die allg. Lösung überprüfen kann?
Vielen Dank fürs erklären!!! Morgen werde ich eine ähnliche Aufgabe derselben Art mit komplettem Lösungsweg posten, vielleicht kriege ich es ja hin.
Kannst du mir vielleicht noch bei der anderen Aufgabe mit dem imaginären Eigenwert helfen?
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> also ist die allgemeine Lösung:
>
> [mm]X(t)=\alpha_1\vektor{-1 \\ 1}+\alpha_2(\vektor{1 \\ 0}+t*\vektor{-1 \\ 1})*e^{2t}[/mm]
> ?
>
Hier hast Du eine Klammer vergessen:
[mm]X(t)=\left\blue{(} \ \alpha_1\vektor{-1 \\ 1}+\alpha_2(\vektor{1 \\ 0}+t*\vektor{-1 \\ 1}) \ \right\blue{)}*e^{2t}[/mm]
> Gibt es eigentlich ein Programm, mit dem ich die allg.
> Lösung überprüfen kann?
>
Nun ein Programm zur Überprüfung sind z.B.
CAS-Systeme wie Mathematica, Derive, Maple, Maxima usw.
> Vielen Dank fürs erklären!!! Morgen werde ich eine
> ähnliche Aufgabe derselben Art mit komplettem Lösungsweg
> posten, vielleicht kriege ich es ja hin.
>
> Kannst du mir vielleicht noch bei der anderen Aufgabe mit
> dem imaginären Eigenwert helfen?
>
So Du denn die Aufgabe mit Lösungsweg postest.
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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