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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Lösung mit Jordanschen Normal
Lösung mit Jordanschen Normal < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lösung mit Jordanschen Normal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:01 Do 06.06.2013
Autor: SaskiaCl

Aufgabe
Bestimmen Sie mit Hilfe der Jordanschen Normalform reelle di efrenzierbare Funktionen x,y,z so dass

x´=y+2z
y´=x+y+3z
z´=-a-z
mit x(0)=1, y(0)=1, z(0)=0, wobei x´die ableitung von x bezeichnet

Hallo,
wir haben in unser Vorlesung ein Abstecher in die Differenzialgleichungen gemacht und weis daher nicht wie ich diese Aufgabe lösen kann.
Es wäre nett, wenn mir jemand den weg aufzeigen kann wie ich zum Ziel, die Aufgabe zu lösen komme. Gerne auch an einem anderen Beispiel.



w´=A*w mit [mm] A=\pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & -1} [/mm]

Eigenwerte von A sind 0  
EV:  [mm] \pmat{ -1 \\ -2 \\ 1 } [/mm]
Jordanschen Normalform von A ist [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]

Danke


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Lösung mit Jordanschen Normal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 Do 06.06.2013
Autor: fred97

Schau mal da rein:

http://www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/diffgln1-12/skript/dgl1-d-06.pdf

FRED

Bezug
                
Bezug
Lösung mit Jordanschen Normal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:09 Do 06.06.2013
Autor: SaskiaCl

Meine Lösung:

[mm] x(t)=e^{t} \vektor{-1 \\ -2 \\ 1} [/mm]
[mm] y(t)=e^{t} \vektor{t \\ 1 \\ -1} [/mm]
[mm] z(t)=e^{t} \vektor{1 \\ t \\ t} [/mm]

richtig ?

Bezug
                        
Bezug
Lösung mit Jordanschen Normal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:34 Do 06.06.2013
Autor: MathePower

Hallo SaskiaCl,

> Meine Lösung:
>  
> [mm]x(t)=e^{t} \vektor{-1 \\ -2 \\ 1}[/mm]
>  [mm]y(t)=e^{t} \vektor{t \\ 1 \\ -1}[/mm]
>  
> [mm]z(t)=e^{t} \vektor{1 \\ t \\ t}[/mm]
>  
> richtig ?


Nein, das ist nicht die Lösung, da 0 ein 3facher EW der Matrix ist.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Lösung mit Jordanschen Normal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 Do 06.06.2013
Autor: SaskiaCl

Hallo,
also EW ist [mm] \vektor{-1 \\ -2 \\ 1} [/mm]
Nach dem Beitrag von Fread habe ich nun wie im Beispiel 6.30 eine Matrix S gesucht mit [mm] S^{-1}AS [/mm] = J und S entspricht [mm] \pmat{ -1 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 } [/mm]
Dann habe ich das Lösung System abgelesen.

Aber das diese nicht Richtig ist sehe ich nach deinem Hinweis auch, aber ich sehe den Fehler in meinem Vorgehen nicht.







Bezug
                                        
Bezug
Lösung mit Jordanschen Normal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 Do 06.06.2013
Autor: MathePower

Hallos SaskiaCl,

> Hallo,
>  also EW ist [mm]\vektor{-1 \\ -2 \\ 1}[/mm]
>  Nach dem Beitrag von
> Fread habe ich nun wie im Beispiel 6.30 eine Matrix S
> gesucht mit [mm]S^{-1}AS[/mm] = J und S entspricht [mm]\pmat{ -1 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 }[/mm]
>  
> Dann habe ich das Lösung System abgelesen.
>  
> Aber das diese nicht Richtig ist sehe ich nach deinem
> Hinweis auch, aber ich sehe den Fehler in meinem Vorgehen
> nicht.
>  


Die Matrix S ist richtig.

Offenbar hast Du die Lösungen des
transformierten Systems nicht richtig bestimmt.


Gruss
MathePower



Bezug
                                                
Bezug
Lösung mit Jordanschen Normal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:31 Do 06.06.2013
Autor: SaskiaCl

Fundamentalsystem:

[mm] a^{1}(t)=e^{t}*\vektor{-1 \\ -2 \\ 1} [/mm]  der vektor entspiricht dem ersten splaltenvektor von S
[mm] a^{2}(t)=e^{t}*\vektor{t \\ 1 \\ -1} [/mm]
[mm] a^{3}(t)=e^{t}*\vektor{1 \\ t \\ t } [/mm]  sind die t s alle richtig oder mussen sie durch eine Null ersetzt werden

Allgemeine Lösung
[mm] x(t)=c_{1}*a^{1}(t)+c_{2}*a^{2}(t)+c_{3}*a^{1}(3) [/mm]

[mm] c_{k} [/mm] muss ich noch mit den x(0) werten bestimmen aber ist es jetzt korrekt?


Bezug
                                                        
Bezug
Lösung mit Jordanschen Normal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Do 06.06.2013
Autor: MathePower

Hallo SaskiaCl,

> Fundamentalsystem:
>  
> [mm]a^{1}(t)=e^{t}*\vektor{-1 \\ -2 \\ 1}[/mm]  der vektor
> entspiricht dem ersten splaltenvektor von S
>  [mm]a^{2}(t)=e^{t}*\vektor{t \\ 1 \\ -1}[/mm]
> [mm]a^{3}(t)=e^{t}*\vektor{1 \\ t \\ t }[/mm]  sind die t s alle
> richtig oder mussen sie durch eine Null ersetzt werden
>  
> Allgemeine Lösung
>  [mm]x(t)=c_{1}*a^{1}(t)+c_{2}*a^{2}(t)+c_{3}*a^{1}(3)[/mm]
>  


Wie schon erwähnt, stimmt diese allgemeine Lösung nicht.


> [mm]c_{k}[/mm] muss ich noch mit den x(0) werten bestimmen aber ist
> es jetzt korrekt?
>  


Bestimme zunächst die Lösungen des transformierten Systems:

[mm]\pmat{s_{1}' \\ s_{2}' \\ s_{3}'}=\pmat{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}\pmat{s_{1} \\ s_{2} \\ s_{3}}[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Lösung mit Jordanschen Normal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:01 Do 06.06.2013
Autor: SaskiaCl


> Bestimme zunächst die Lösungen des transformierten
> Systems:
>  
> [mm]\pmat{s_{1}' \\ s_{2}' \\ s_{3}'}=\pmat{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}\pmat{s_{1} \\ s_{2} \\ s_{3}}[/mm]

[mm] s_{1}'=s_{2} [/mm]
[mm] s_{2}'=s_{3} [/mm]
[mm] s_{3}'=0 [/mm]
Leider habe ich es immer noch nicht ganz verstanden wie ich weiter vorgehen muss

Bezug
                                                                        
Bezug
Lösung mit Jordanschen Normal: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:08 Do 06.06.2013
Autor: SaskiaCl


>  
> [mm]s_{1}'=s_{2}[/mm]
>  [mm]s_{2}'=s_{3}[/mm]
> [mm]s_{3}'=0[/mm]

[mm] \Rightarrow s_{3}=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow s_{2}=c [/mm]
[mm] \Rightarrow s_{1}=xc+c [/mm]

Mit den Anfangswerten folgt
[mm] s_{2}=1 [/mm]
[mm] s_{1}=xc+1 [/mm]




Bezug
                                                                        
Bezug
Lösung mit Jordanschen Normal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:10 Do 06.06.2013
Autor: MathePower

Hallo SaskiaCl,

> > Bestimme zunächst die Lösungen des transformierten
> > Systems:
>  >  
> > [mm]\pmat{s_{1}' \\ s_{2}' \\ s_{3}'}=\pmat{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}\pmat{s_{1} \\ s_{2} \\ s_{3}}[/mm]
>  
> [mm]s_{1}'=s_{2}[/mm]
>  [mm]s_{2}'=s_{3}[/mm]
> [mm]s_{3}'=0[/mm]
>  Leider habe ich es immer noch nicht ganz verstanden wie
> ich weiter vorgehen muss

Aus der letzten Zeile folgt doch:

[mm]s_{3}=c_{3}, \ c_{3} \in \IR[/mm]

Dann ergibt sich die nächste zu lösende DGL:

[mm]s_{2}'=s_{3}[/mm]

Daraus bestimmst Du jetzt die Lösung der homogenen DGL

[mm]s_{2}'=0[/mm]

sowie die Lösung der inhomogenen DGL

[mm]s_{2}'=s_{3}[/mm] .

Die Gesamtlösung [mm]s_{2}[/mm] setzt sich dann zusammen
aus der Lösung der homogenen DGL
und der Lösung der inhomogenen DGL.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
Bezug
Lösung mit Jordanschen Normal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:21 Do 06.06.2013
Autor: SaskiaCl

So ich muss noch einmal Fragen also

[mm] s_{2}´=0 [/mm] folgt e^(-x)
[mm] s_{2}´=c [/mm] folgt c-(c-1)e^(-x)
aber keine die funktionen ist abgeleite 0

ich stelle mich grade wahrscheinlich ziemlich dumm an aber ich habe noch nie mit DGL gearbeitet

Bezug
                                                                                        
Bezug
Lösung mit Jordanschen Normal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:28 Do 06.06.2013
Autor: MathePower

Hallo SaskiaCl,

> So ich muss noch einmal Fragen also
>  
> [mm]s_{2}´=0[/mm] folgt e^(-x)
>  [mm]s_{2}´=c[/mm] folgt c-(c-1)e^(-x)
>  aber keine die funktionen ist abgeleite 0
>  
> ich stelle mich grade wahrscheinlich ziemlich dumm an aber
> ich habe noch nie mit DGL gearbeitet  


Dann lese Dich da mal ein.

Welche Funktion ergibt ab geleitet 0 ?
Das ist doch wohl eine Konstante, sagen wir [mm]c_{2}[/mm]
Das ist zugleich die homogene Lösung der obigen DGL.

Für die inhomogene Lösung machst Du den Ansatz [mm]s_{2}=a*t[/mm],
da die Konstante als Störfunktion eine Lösung der homogenen DGL ist.


Gruss
MathePower

Bezug
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