Lösung nicht verstanden < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Do 31.01.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Dualraum:
[mm] V:=R^3, A:={\vektor{1\\1\\1},\vektor{1\\-1\\1},\vektor{0\\1\\1}} [/mm] und [mm] W:=R^2, B:={\vektor{1\\1},\vektor{1\\-1}}, f: V \to W [/mm]
[mm] f(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}):=\vektor{3x_1\\x_2+x_3} [/mm]
Berechnen Sie die duale Basis. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ich habe die Lösung, verstehe sie aber nicht.
Als erster Schritt steht da:
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=(x_1+\bruch{x_2}{2}-\bruch{x_3}{2})\vektor{1\\1\\1} + (-\bruch{x_2}{2}+\bruch{x_3}{2}) \vektor{1\\-1\\1} + (-x_1+x_3) \vektor{0\\1\\1} [/mm]
Wie kommt man auf diesen Ausdruck ?
Danke, Susanne.
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> Dualraum:
> [mm]V:=R^3,
> A:=\{\vektor{1\\1\\1},\vektor{1\\-1\\1},\vektor{0\\1\\1}\}[/mm]
> und [mm]W:=R^2,
> B:=\{\vektor{1\\1},\vektor{1\\-1}}}, f: V \to W[/mm]
>
> [mm]f(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}):=\vektor{3x_1\\x_2+x_3}[/mm]
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> Berechnen Sie die duale Basis.
>
> Ich habe die Lösung, verstehe sie aber nicht.
> Als erster Schritt steht da:
>
> [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=(x_1+\bruch{x_2}{2}-\bruch{x_3}{2})\vektor{1\\1\\1} + (-\bruch{x_2}{2}+\bruch{x_3}{2}) \vektor{1\\-1\\1} + (-x_1+x_3) \vektor{0\\1\\1}[/mm]
>
> Wie kommt man auf diesen Ausdruck ?
Hallo,
auf jeden Fall kannst Du ja nachrechnen, daß das stimmt:
[mm] (x_1+\bruch{x_2}{2}-\bruch{x_3}{2})\vektor{1\\1\\1}+(-\bruch{x_2}{2}+\bruch{x_3}{2}) \vektor{1\\-1\\1}+(-x_1+x_3) \vektor{0\\1\\1} [/mm]
[mm] =\vektor{(x_1+\bruch{x_2}{2}-\bruch{x_3}{2})*1+(-\bruch{x_2}{2}+\bruch{x_3}{2}) *1+ (-x_1+x_3)*0 \\ (x_1+\bruch{x_2}{2}-\bruch{x_3}{2})*1+(-\bruch{x_2}{2}+\bruch{x_3}{2}) *(-1)+ (-x_1+x_3)*1\\(x_1+\bruch{x_2}{2}-\bruch{x_3}{2})*1+(-\bruch{x_2}{2}+\bruch{x_3}{2}) *1+ (-x_1+x_3)*1} =\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}
[/mm]
Was hat man getan? Man hat den Vektor [mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\x_3} [/mm] als Linearkombination der Elemente der Basis A dargestellt.
Ich nehme an, daß das getan wurde, um die die Elemente der dualen Basis [mm] (\lambda_1, \lambda_2, lambda_3) [/mm] in der Gestalt
[mm] \lambda_i(\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3})= [/mm] ... angeben zu können, aber worauf das hinsteuert, wirst Du der Dir vorliegenden Lösung ja entnehmen können.
Achso, jetzt hätte ich fast die eigentliche Frage vergessen, das "Wie":
Man wollte [mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\x_3} [/mm] als Linearkombination der Elemente der Basis A darstellen, also a,b,c finden mit
also [mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}=a\vektor{1\\1\\1} [/mm] + b [mm] \vektor{1\\-1\\1} [/mm] +c [mm] \vektor{0\\1\\1}.
[/mm]
Das entsprechende GS hat man gelöst, mit dem Ergebnis, über welches Du Dich gerade wunderst.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:31 Do 31.01.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela, VIELEN DANK !
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