Lösung quadratischer Gleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Mo 03.10.2005 | | Autor: | avoila |
Hallo,
ok, ein erster Versuch, ich hoffe ich stell mich bei der Formeleingabe nicht allzu dämlich an.
so ganz ehrlich hab ich keine Ahnung, wie es gilt, diese Aufgabe zu lösen:
Bestimme die Definitionsmenge D (Grundmenge [mm] \IR [/mm]). Kürze vollständig!
[mm] \left( \bruch{x²+7x+10}{x²-25} \right)
[/mm]
Bei mir herrscht totale Blockade, ich hab keine Ahnung, wo anfangen.
Wäre euch für Hilfe sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo avoila und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> ok, ein erster Versuch, ich hoffe ich stell mich bei der
> Formeleingabe nicht allzu dämlich an.
Na, das hat doch ganz super geklappt. 
> so ganz ehrlich hab ich keine Ahnung, wie es gilt, diese
> Aufgabe zu lösen:
>
> Bestimme die Definitionsmenge D (Grundmenge [mm]\IR [/mm]). Kürze
> vollständig!
>
> [mm]\left( \bruch{x²+7x+10}{x²-25} \right)[/mm]
>
> Bei herrscht totale Blockade, ich hab keine Ahnung, wo
> anfangen.
Naja, was bedeutet denn "Definitionsmenge"? In der Definitionsmenge befinden sich alle Elemente, für die deine Funktion "definiert" ist. Und wann ist eine Funktion nicht definiert? Zum Beispiel, wenn unter einer Wurzel eine negative Zahl steht (jedenfalls im Reellen, wie man das in der Schule immer macht). Oder wenn man durch Null teilt, das darf man nämlich nicht. Und genau darauf läuft es hier hinaus. Du kannst alles einsetzen, nur keine Zahlen, sodass durch Null geteilt wird, also keine Zahlen, sodass der Nenner =0 wird. Es darf also nicht gelten:
[mm] x^2-25=0
[/mm]
Kannst du mir jetzt sagen, welche Zahl(en) nicht in der Definitionsmenge sind?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Mo 03.10.2005 | | Autor: | avoila |
Hallo Bastiane,
danke für die schnelle Antwort
> [mm]x^2-25=0[/mm]
>
> Kannst du mir jetzt sagen, welche Zahl(en) nicht in der
> Definitionsmenge sind?
demnach darf auf alle Fälle 5 nicht Teil der Definitionsmenge sein...
und nu?
auf den Kopf gefallene Grüße
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Hi, avoila,
> > [mm]x^2-25=0[/mm]
> >
> > Kannst du mir jetzt sagen, welche Zahl(en) nicht in der
> > Definitionsmenge sind?
>
> demnach darf auf alle Fälle 5 nicht Teil der
> Definitionsmenge sein...
[mm] x^{2} [/mm] - 25 = 0
<=> [mm] x^{2} [/mm] = 25 | [mm] \wurzel{...}
[/mm]
x = 5 [mm] \vee [/mm] x = -5
Demnach: D = [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{5; -5\}
[/mm]
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Hallo avoila,
Also, in deiner Aufgabenstellung steht, dass du zuerst kürzen sollst!
Du weist aber, dass man aus Summen nicht kürzen kann!
Mir fällt im Moment nur eine Sache ein, die du vielleicht machen sollst!
Der Zähler des Bruchs ist, wenn du so wilste, ein "Stück" quadratische "Gleichung".
Löst du diese unter dieser Anahme, z.B durch die p-q Formel, so erhälst du
[mm] x_1=-5 [/mm]
und
[mm] x_2=-2 [/mm]
Nun läßte sich, anhand dieser Lösungen, der Zähler des Bruches neu scheiben, nämlich nach folgendem Muster:
[mm] a*[(x-x_1)*(x-x_2)] [/mm]
wobei [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] die Lösungen dieser "Gleichung" dastellen.
Das sieht dann so aus:
[mm] \left( \bruch{1[*x-(-5)*(x-(-2)]}{x²-25} \right) [/mm]
Das vereinfacht sich zu:
[mm] \left( \bruch{(x+5)*(x+2)}{x²-25} \right) [/mm]
Der Zähler wurde somit nach dem Zerlegungssatz zerlegt, er wurde in Linearfaktoren "aufgespalten".
Nun zerlegst du noch den Zähler nach der dritten binomischen Fomel in Linearfaktoren, dass sieht dann so aus:
[mm] x²-25 [/mm]
ist die "faktoriesierte" Seite der dritten binomischen Formel! Zur Errinnerung:
[mm] a²-b²=(a+b)*(a-b) [/mm]
Gesagt, getan...
[mm] x²-25=(x+5)*(x-5) [/mm]
Nun in unseren Bruch eingesetzt:
[mm] \left( \bruch{(x+5)*(x+2)}{(x+5)*(x-5)} \right) [/mm]
Der Nenner ist nun ein Produkt, du kannst kürzen!
Es ensteht:
[mm] \left( \bruch{x+2}{x-5} \right) [/mm]
Nun sollte auch die Definitionsmenge klar sein:
Die Menge der reelen Zahlen außer 5, da sonst der Nenner Null werden würde, dass darf ja nicht passieren!!!
Aufgrund des "Einspruchs" von Zwergleich, die Deffinitionsmenge seie vor dem kürzen zu bestimmen, lenke ich ein und gebe ihm Recht, bin aber nicht ganz sicher, und sage ebenfalls, die Deffinitionsmenge sei die Menge der reelen Zahlen unter Auschluß von -5 und 5!
Gruß
Goldener_Sch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Mo 03.10.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Goldener_Sch.,
> Also, in deiner Aufgabenstellung steht, dass du zuerst
> kürzen sollst!
WOOOO bitte steht das?!
NIEMALS wird ein solcher Term erst gekürzt!
IMMMMMER wir ZUERRRRSSSST die Definitionsmenge bestimmt!
Daher gilt - und dies ohne WENN UND ABER (worauf ich JEDE Wette annehme!):
D = [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{-5; 5\}.
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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Hallo!
> gut, obige Aufgabe, ist inzwischen erfolgreich gelöst,
> vielen Dank an euch
Gut. Aber eigentlich solltest du für eine neue Aufgabe auch eine neue Frage aufmachen. Da das hier aber wirklich so gut wie dasselbe ist, akzeptiere ich es mal so, aber vllt hättest du wenigstens in den Betreff schreiben können, dass es eine komplett andere Aufgabe ist. (Denke zum Beispiel an Leute, die sich nicht durch unsere vorige Diskussion lesen möchten, diese Frage aber auch ohne dies beantworten könnten, nur nicht wissen, dass sie den Rest gar nicht lesen brauchen.  )
> nächster Problemfall
>
> Bestimme die Definitionsmenge [mm]D\in\IR[/mm]
>
> [mm]\bruch{x²-4X+4}{x²-5+6}[/mm] =2
>
> mich irretiert das "=2"
Ja, aber die 2 ist total egal, denn da setzt du ja nirgendwo was ein. Du brauchst dich also wieder nur um den Nenner des Bruches zu kümmern.
Du meintest dort aber wohl [mm] x^2-5x+6 [/mm] oder?
> das auflösen, der teils unter dem Bruchstrich schaffe ich
>
>
> [mm]x_1_;_2[/mm] = [mm]\bruch{5 \pm \wurzel{4(-5)²-4*6}}{2}[/mm]
> [mm]x_1_;_2[/mm] =
> [mm]\bruch {5\pm1}{2}[/mm]
>
> [mm]x_1[/mm] = [mm]\bruch{5+1}{2}[/mm]
> [mm]x_1[/mm] = 3
>
> [mm]x_2[/mm] = [mm]\bruch{5-1}{2}[/mm]
> [mm]x_2[/mm] = 2
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") super
> damit habe ich dann D [mm]\in \IR[/mm] {2;3}
> aber jetzt weiter????
[mm] \red{\mbox{Vorsicht! Der Definitionsbereich besteht aus allen Elementen, die du einsetzen darfst. 2 und 3 darfst du aber nicht einsetzen. Also muss es heißen: \IR\backslash\{2,3\}}}
[/mm]
> gerade in Bezug die 2....
Jetzt nichts mehr - du bist fertig.
Viele Grüße
Bastiane
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![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
