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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 So 26.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Seien m,n [mm] \in \IN, [/mm] A [mm] \in K^{m \times n}, [/mm] b [mm] \in K^{m}.
[/mm]
Seien A' [mm] \in K^{m \times n}, [/mm] b' [mm] \in K^{m} [/mm] derart, dass (A'b') aus (Ab) entsteht durch elem. Zeilenop.
Sei r die Anzahl und [mm] j_{1},...,j_{r} \in \{1,...,n\} [/mm] die Indizes der Stufenspalten von (A'b').
Sei [mm] L=\{x \in K^{n}|A*x=b\}. [/mm] Dann gilt:
1.L [mm] \not= \emptyset \gdw [/mm] b'_{r+1}=...=b'_{m}=0
2. Angenommen L [mm] \not= \emptyset.Dann [/mm] gilt:
[mm] \forall (x_{j}) [/mm] j [mm] \in \{1,...,n\}\\{j_{1},...,j_{r}\}: \exists! x_{j1}...x_{jr} \in [/mm] K: [mm] \vektor{x_{1}... \\ x_{n}} \in [/mm] L.
3. L besteht aus genau einem Vektor [mm] \gdw [/mm] r=n, b'_{r+1}=...=b'_{m}=0 |
Guten Abend,
ich versuche grad obige Aussagen zu verstehen und hab mir dazu ein Beispiel einer konkreten Matrix genommen, um es daran zu überprüfen.
Meine Matrix ist [mm] A=\pmat{ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 4 & 1 } [/mm] und [mm] b=\vektor{2 \\ -1 \\ 5}. [/mm] Wenn ich jetzt (Ab) auf Stufenform bringe,dann hab ich: [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 }.
[/mm]
Es ist hier r=2, [mm] j_{1}=1, j_{2}=3.
[/mm]
1. Die erste Aussage besagt doch jetzt, dass dieses Gleichungssystem genau dann mindestens eine Lösung hat,wenn b'_{r+1}=0 ist, es ist aber b'_{r+1}=2 (die 2 ganz unten ganz rechts). Das ist doch mit b'_{r+1} gemeint oder,da war ich mir nämlich nicht ganz sicher?
Aber mir ist nicht klar,wieso es denn in dem Fall b'_{r+1} [mm] \not=0 [/mm] keine Lösung gibt. Ok, bei meinen speziellen Fall ist es klar, denn in der letzten Zeile stehen nur Nullen, dann kann da nicht 2 rauskommen. Aber wieso muss denn im allgemeinen b'_{r+1}...b'_{m}=0 sein?
2. Die zweite Aussage verstehe ich nicht ganz.Was bedeutet es denn, dass für alle [mm] x_{j}... [/mm] genau ein [mm] x_{j1}... [/mm] existiert? Also die [mm] x_{j} [/mm] sind doch die Einträge des Lösungsvektors. Ich versteh den Sinn der Aussage nicht ganz.Wenn die Lösungsmenge nicht leer ist, was gilt dann?
3. Die dritte Aussage bedeutet einfach, dass wenn alle Spalten von (A'b') Stufenspalten sind und b'_{r+1}...b'_{m}=0 sind,dann gibt es genau einen Lösungsvektor,aber so richtig vorstellen kann ich mir das nicht. Denn wenn r=n ist, dann gibt es doch gar kein b'_{r+1}. Wären z.B. bei meiner Matrix alle 5 Spalten Stufenspalten, aber es gibt nur [mm] b_{1},b_{2} [/mm] und [mm] b_{3} [/mm] und [mm] b_{6} [/mm] gibts gar nicht oder verstehe ich das falsch?
Vielen Dank
lg
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Hi,
machen wir es doch allgemein
[mm]A\ink^{m\times n}=\pmat{ a_{11} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}}[/mm], [mm]b\in K^m = \pmat{ b_{1} \\
\vdots \\
b_{m}}[/mm], [mm]x\in K^n = \pmat{ x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}}[/mm]
Das A',b' entsteht durch elementare Zeilenumformungen. r sollte der Rang sein. Also hast du oBdA
[mm]A'\ink^{m\times n}=\pmat{ a'_{11} & \cdots & a'_{1r}& \cdots & a'_{1n}\\
\vdots && \vdots && \vdots\\
a'_{r1} & \cdots & a'_{rr}& \cdots & a'_{rn}\\
0 & \cdots & 0& \cdots & 0\\
\vdots && \vdots && \vdots\\
0 & \cdots & 0& \cdots &0}[/mm], [mm]b'\in K^m = \pmat{ b'_{1} \\
\vdots \\
b'_{r}\\
\vdots \\
b'_{m}}[/mm], [mm]x'\in K^n = \pmat{ x'_{1} \\
\vdots \\
x'_{r}\\
\vdots \\
x'_{n}}[/mm]
zu 1)
Du hast es ja schon richtig hingeschrieben. Für eine Lösung sollten die Einträge [mm]b'_{r+1},\ldots,b'_m[/mm] als Linearkombination von den Einträgen der Zeile r von A' geschrieben werden können. Nimmt man sich die Zeile [mm]k\in\{r+1,\ldots,m\}[/mm]:
[mm]0\neq b'_k = \summe_{i=1}^{n} a'_{ki}*c_i= \summe_{i=1}^{n} 0*c_i=0[/mm]Also gibt ein keine Linearkombination und somit auch keine Lösung.
zu2) Jetzt gibt es eine Lösung also sieht es wie folgt aus:[mm]A'\ink^{m\times n}=\pmat{ a'_{11} & \cdots & a'_{1r}& \cdots & a'_{1n}\\
\vdots && \vdots && \vdots\\
a'_{p1} & \cdots & a'_{pr}& \cdots & a'_{pn}\\
\vdots && \vdots && \vdots \\
a'_{r1} & \cdots & a'_{rr}& \cdots & a'_{rn}\\
0 & \cdots & 0& \cdots & 0\\
\vdots && \vdots && \vdots\\
0 & \cdots & 0& \cdots &0}[/mm], [mm]b'\in K^m = \pmat{ b'_{1} \\
\vdots \\
b'_{p}\\
0\\
\vdots \\
0}[/mm], [mm]x'\in K^n = \pmat{ x'_{1} \\
\vdots \\
x'_{p}\\
x'_{p+1}\\
\vdots \\
x'_{n}}[/mm]Da sieht grausam aus. Also die Einträge von b' sind bis Zeile p ungleich Null. In der Matrix A können aber noch weitere Zeilen p+1,p+2,...,r ungleich Null sein.
Nun gilt ja A'x'=b'. Also hast du soetwas dastehen:
[mm]\pmat{ a'_{11} & \cdots & a'_{1r}& \cdots & a'_{1n}\\
\vdots && \vdots && \vdots\\
a'_{p1} & \cdots & a'_{pr}& \cdots & a'_{pn}\\
\vdots && \vdots && \vdots \\
a'_{r1} & \cdots & a'_{rr}& \cdots & a'_{rn}\\
0 & \cdots & 0& \cdots & 0\\
\vdots && \vdots && \vdots\\
0 & \cdots & 0& \cdots &0}*\pmat{ x'_{1} \\
\vdots \\
x'_{p}\\
x'_{p+1}\\
\vdots \\
x'_{n}}= \pmat{ b'_{1} \\
\vdots \\
b'_{p}\\
0\\
\vdots \\
0}[/mm]Da ich die Matrix schon oBdA umsortiert habe, bedeutet dieses [mm]\forall x_j\ldots[/mm] einfach
[mm]\forall x_j\;,j\in\{1,\ldots,p\}\; \exists y_1,\ldots,y_p\in K: (a_{j1},\ldots,_{jn})^T*(y_1,\ldots,y_n)=b_j[/mm]Das heißt einfach, dass es einen Vektor gibt, der hier Gleichheit erfüllt.
zu3)
sagt einfach aus, dass die Matrix A' und somit auch A vollen Rang hat und das LGS lösbar ist. Da die Matrix vollen Rang hat existiert eine Linksinverse Matrix die das LGS eindeutig löst. Damit wird der Lösungsraum nur von einem Vektor ausgespannt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Do 30.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hi,
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> machen wir es doch allgemein
> [mm]A\ink^{m\times n}=\pmat{ a_{11} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}}[/mm],
> [mm]b\in K^m = \pmat{ b_{1} \\
\vdots \\
b_{m}}[/mm], [mm]x\in K^n = \pmat{ x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}}[/mm]
>
> Das A',b' entsteht durch elementare Zeilenumformungen. r
> sollte der Rang sein. Also hast du oBdA
>
> [mm]A'\ink^{m\times n}=\pmat{ a'_{11} & \cdots & a'_{1r}& \cdots & a'_{1n}\\
\vdots && \vdots && \vdots\\
a'_{r1} & \cdots & a'_{rr}& \cdots & a'_{rn}\\
0 & \cdots & 0& \cdots & 0\\
\vdots && \vdots && \vdots\\
0 & \cdots & 0& \cdots &0}[/mm],
> [mm]b'\in K^m = \pmat{ b'_{1} \\
\vdots \\
b'_{r}\\
\vdots \\
b'_{m}}[/mm],
> [mm]x'\in K^n = \pmat{ x'_{1} \\
\vdots \\
x'_{r}\\
\vdots \\
x'_{n}}[/mm]
>
>
> zu 1)
> Du hast es ja schon richtig hingeschrieben. Für eine
> Lösung sollten die Einträge [mm]b'_{r+1},\ldots,b'_m[/mm] als
> Linearkombination von den Einträgen der Zeile r von A'
> geschrieben werden können. Nimmt man sich die Zeile
> [mm]k\in\{r+1,\ldots,m\}[/mm]:
> [mm]0\neq b'_k = \summe_{i=1}^{n} a'_{ki}*c_i= \summe_{i=1}^{n} 0*c_i=0[/mm]Also
> gibt ein keine Linearkombination und somit auch keine
> Lösung.
Erstmal Vielen Dank für deine Mühe.
Diese Gleichung bzw. Ungleichung macht mich etwas stutzig. Wie kann denn 0 [mm] \not=b'_{k}=0 [/mm] sein, das wäre ja wie 0 [mm] \not=0 [/mm] und du hast geschrieben das [mm] b_{k}'=\summe_{i=1}^{n} a'_{ki}*c_i= \summe_{i=1}^{n} 0*c_i=0, [/mm] also ist b'_{k}=0, und dann gibt es doch eine Lösung, du sagst aber es gibt keine?
Ich bin etwas verwirrt.
lg
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Hi,
der Teil war ja auch nicht logisch sondern genau der Widerspruch!!! Gut erkannt.
Laut Annahme ist [mm]b'_k\neq 0[/mm] für [mm]k\in\{r+1,\ldots,m\}[/mm] und [mm]a'_{ki}=0[/mm] für [mm]k\in\{r+1,\ldots,m\},i\in\{1,\ldots,n\}[/mm].
Also ergibt sich ja einmal [mm]b'_k\neq 0[/mm] aber auch [mm] b_{k}'=\summe_{i=1}^{n} a'_{ki}\cdot{}c_i= \summe_{i=1}^{n} 0\cdot{}c_i=0, [/mm] Widerspruch! Also keine Lösung!
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> zu2) Jetzt gibt es eine Lösung also sieht es wie folgt
> aus:[mm]A'\ink^{m\times n}=\pmat{ a'_{11} & \cdots & a'_{1r}& \cdots & a'_{1n}\\
\vdots && \vdots && \vdots\\
a'_{p1} & \cdots & a'_{pr}& \cdots & a'_{pn}\\
\vdots && \vdots && \vdots \\
a'_{r1} & \cdots & a'_{rr}& \cdots & a'_{rn}\\
0 & \cdots & 0& \cdots & 0\\
\vdots && \vdots && \vdots\\
0 & \cdots & 0& \cdots &0}[/mm],
> [mm]b'\in K^m = \pmat{ b'_{1} \\
\vdots \\
b'_{p}\\
0\\
\vdots \\
0}[/mm],
> [mm]x'\in K^n = \pmat{ x'_{1} \\
\vdots \\
x'_{p}\\
x'_{p+1}\\
\vdots \\
x'_{n}}[/mm]Da
> sieht grausam aus. Also die Einträge von b' sind bis Zeile
> p ungleich Null. In der Matrix A können aber noch weitere
> Zeilen p+1,p+2,...,r ungleich Null sein.
> Nun gilt ja A'x'=b'. Also hast du soetwas dastehen:
>
> [mm]\pmat{ a'_{11} & \cdots & a'_{1r}& \cdots & a'_{1n}\\
\vdots && \vdots && \vdots\\
a'_{p1} & \cdots & a'_{pr}& \cdots & a'_{pn}\\
\vdots && \vdots && \vdots \\
a'_{r1} & \cdots & a'_{rr}& \cdots & a'_{rn}\\
0 & \cdots & 0& \cdots & 0\\
\vdots && \vdots && \vdots\\
0 & \cdots & 0& \cdots &0}*\pmat{ x'_{1} \\
\vdots \\
x'_{p}\\
x'_{p+1}\\
\vdots \\
x'_{n}}= \pmat{ b'_{1} \\
\vdots \\
b'_{p}\\
0\\
\vdots \\
0}[/mm]Da
> ich die Matrix schon oBdA umsortiert habe, bedeutet dieses
> [mm]\forall x_j\ldots[/mm] einfach
> [mm]\forall x_j\;,j\in\{1,\ldots,p\}\; \exists y_1,\ldots,y_p\in K: (a_{j1},\ldots,_{jn})^T*(y_1,\ldots,y_n)=b_j[/mm]Das
> heißt einfach, dass es einen Vektor gibt, der hier
> Gleichheit erfüllt.
Heißt das, dass wenn ich eine Lösung habe, dann gibt es auf jeden Fall noch eine Lösung habe, denn das [mm] y_{1},...,y_{n} [/mm] müsste dann auch eine Lösung sein?
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:33 Do 03.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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