Lösungen aus C für Gleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geben sie alle Lösungen [mm] z_{} \in \IC [/mm] der Gleichung
[mm] (z_{}+i)^{3} [/mm] =-8
in der Form a+bi, mit a,b [mm] \in \IR [/mm] an. |
Den Beginn der Aufgabe verstehe ich noch.
Man berechnet die erste Lösung für [mm] z_{}:
[/mm]
[mm] (z_{}+i)^{3}=(-2)^{3}
[/mm]
[mm] \wurzel[3]{(z+i)^{3}}=\wurzel[3]{(-2)^{3}}
[/mm]
[mm] z_{}+i=-2
[/mm]
[mm] z_{1}=-2-i [/mm] (stimmt definitiv, da in der Musterlösung gegeben)
und teilt den Term
[mm] (z+i)^{3} [/mm] = -8
bzw.
[mm] z_{}^{3}+3z^{2}i-3z-i+8=0
[/mm]
durch [mm] (z_{}-z_{1})
[/mm]
aber genau an diesem Punkt hänge ich schon seit Stunden fest.
Kann mir bitte irgendjemand den Rechenweg für die Polynomdivision komplett hinschreiben?
Ich weiß aus außerdem aus der Musterlösung, dass
[mm] z_{2}=1+(\wurzel{3}-1)i
[/mm]
[mm] z_{3}=1-(\wurzel{3}+1)i
[/mm]
aber ich habe leider keinen Rechenweg dazu gegeben und alleine komme ich nicht auf die Lösungen.
Bei mir ergibt sich nie ein Polynom 2. Grades, es bleibt irgendwie immer ein Rest.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Mathe.n00b, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
das Wort heißt "Polynomdivision", ohne das überflüssige "en" in der Mitte. Und Du brauchst es hier nicht, weil das viel zu viel Aufwand wäre.
> Geben sie alle Lösungen [mm]z_{} \in \IC[/mm] der Gleichung
>
> [mm](z_{}+i)^{3}[/mm] =-8
>
> in der Form a+bi, mit a,b [mm]\in \IR[/mm] an.
> Den Beginn der Aufgabe verstehe ich noch.
>
> Man berechnet die erste Lösung für [mm]z_{}:[/mm]
Hey, Du kennst ja LaTeX-Tricks... Respekt!
> [mm](z_{}+i)^{3}=(-2)^{3}[/mm]
Ja, das ist eine ziemlich offensichtliche Lösung.
> [mm]\wurzel[3]{(z+i)^{3}}=\wurzel[3]{(-2)^{3}}[/mm]
>
> [mm]z_{}+i=-2[/mm]
>
> [mm]z_{1}=-2-i[/mm] (stimmt definitiv, da in der Musterlösung
> gegeben)
Da hat auch niemand Einwände dagegen. 
> und teilt den Term
> [mm](z+i)^{3}[/mm] = -8
> bzw.
> [mm]z_{}^{3}+3z^{2}i-3z-i+8=0[/mm]
>
> durch [mm](z_{}-z_{1})[/mm]
Kann man machen, klappt auch prima:
[mm] (z^3+3iz^2-3z-i+8):(z+2+i)=z^2+2(-1+i)z+(3-2i)
[/mm]
> aber genau an diesem Punkt hänge ich schon seit Stunden
> fest.
>
> Kann mir bitte irgendjemand den Rechenweg für die
> Polynomdivision komplett hinschreiben?
Umgekehrt. Schreib mal, was Du da rechnest, dann finden wir auch den Fehler. Das Ergebnis hast du ja jetzt schon.
> Ich weiß aus außerdem aus der Musterlösung, dass
>
> [mm]z_{2}=1+(\wurzel{3}-1)i[/mm]
> [mm]z_{3}=1-(\wurzel{3}+1)i[/mm]
>
> aber ich habe leider keinen Rechenweg dazu gegeben und
> alleine komme ich nicht auf die Lösungen.
Das geht alles viel einfacher mit der  Moivre-Formel.
Grüße
reverend
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na gut, dann eben mit der Moivre Formel
(die PD stell ich mal hinten an, wenn du sagst, dass sie zu kompliziert ist in diesem Fall)
nur kurz zum Verständnis:
[mm] \wurzel[3]{z} [/mm] sind in diesem Fall meine Lösungen [mm] z_{1},z_{2} [/mm] und [mm] z_{3}, [/mm] oder?
Wie man (prinzipiell) den Abstand einer komplexen Zahl zum Ursprung [mm] (\hat= [/mm] Betrag) berechnet, ist mir klar:
[mm] r=|z_{}|=\wurzel{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
aber ich verstehe nicht, wie ich das in meinem Fall anstellen soll. Soll ich da einfach von [mm] z_{1} [/mm] den Betrag bestimmen? der wäre ja dann
[mm] |z_{1}|=\wurzel{(-2)^{2}+(-1)^{2}}=\wurzel{4+1}=\wurzel{5}
[/mm]
und wie berechne ich [mm] \varphi [/mm] ?
laut Formel müsste ich [mm] \varphi [/mm] berechnen aus [mm] tan(\varphi)=\bruch{1}{2}. [/mm] Aber nachdem meine schlaue Formelsammlung (die ich für die Aufgabe verwenden soll) den Wert nicht kennt, glaub ich, dass ich da was falsch gemacht habe.
Wie dem auch sei, dann kann aber nie ein Wert für y rauskommen (weil die cos bzw. sin-Funktion ja nur Werte aus [mm] \IR [/mm] erzeugt, keine komlexen Werte. Dh. mein Denkfehler muss ja schon vorher drin sien, oder?
ich glaub ich steh grad auf dem Schlauch...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Di 13.12.2011 | | Autor: | abakus |
> na gut, dann eben mit der Moivre Formel
> (die PD stell ich mal hinten an, wenn du sagst, dass sie zu
> kompliziert ist in diesem Fall)
>
> nur kurz zum Verständnis:
>
> [mm]\wurzel[3]{z}[/mm] sind in diesem Fall meine Lösungen
> [mm]z_{1},z_{2}[/mm] und [mm]z_{3},[/mm] oder?
>
> Wie man (prinzipiell) den Abstand einer komplexen Zahl zum
> Ursprung [mm](\hat=[/mm] Betrag) berechnet, ist mir klar:
>
> [mm]r=|z_{}|=\wurzel{x^{2}+y^{2}}[/mm]
>
> aber ich verstehe nicht, wie ich das in meinem Fall
> anstellen soll. Soll ich da einfach von [mm]z_{1}[/mm] den Betrag
> bestimmen? der wäre ja dann
>
> [mm]|z_{1}|=\wurzel{(-2)^{2}+(-1)^{2}}=\wurzel{4+1}=\wurzel{5}[/mm]
>
> und wie berechne ich [mm]\varphi[/mm] ?
> laut Formel müsste ich [mm]\varphi[/mm] berechnen aus
> [mm]tan(\varphi)=\bruch{1}{2}.[/mm] Aber nachdem meine schlaue
> Formelsammlung (die ich für die Aufgabe verwenden soll)
> den Wert nicht kennt, glaub ich, dass ich da was falsch
> gemacht habe.
>
> Wie dem auch sei, dann kann aber nie ein Wert für y
> rauskommen (weil die cos bzw. sin-Funktion ja nur Werte aus
> [mm]\IR[/mm] erzeugt, keine komlexen Werte. Dh. mein Denkfehler muss
> ja schon vorher drin sien, oder?
>
>
> ich glaub ich steh grad auf dem Schlauch...
Hallo,
das ist immer noch viel zu kompliziert.
Substituiere z+i=w, löse die Gleichung [mm]w^3=-8[/mm] mit Moivre
(Lösungen [mm]w_1=-2[/mm], [mm]w_2=1+\wurzel{3}i[/mm], [mm]w_3=1-\wurzel{3}i[/mm]) und substituiere zurück.
Gruß Abakus
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Okay, aber das führt ja wieder auf meine Frage zurück.
Wie komme ich auf das r und auf [mm] \varphi [/mm] um meine [mm] w_{2} [/mm] und [mm] w_{3} [/mm] auszurechnen?
Mit [mm] w:=z_{}+i [/mm] ergibt sich:
[mm] w^{3}=-8
[/mm]
und somit (wie zu Beginn meiner Frage gesagt durch die Anwendung von [mm] \wurzel[3] [/mm] auf beide Seiten)
[mm] w_{1}=-2 \Rightarrow z_{1}=-2-i
[/mm]
Ist jetzt [mm] |w_{1}|=\wurzel{(-2)^{2}+0^{2}}=2 [/mm] mein r und [mm] tan(\varphi)=\bruch{0}{-2} [/mm] liefert mein [mm] \varphi?
[/mm]
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Hi!
> Okay, aber das führt ja wieder auf meine Frage zurück.
> Wie komme ich auf das r und auf [mm]\varphi[/mm] um meine [mm]w_{2}[/mm] und
> [mm]w_{3}[/mm] auszurechnen?
>
> Mit [mm]w:=z_{}+i[/mm] ergibt sich:
>
> [mm]w^{3}=-8[/mm]
>
> und somit (wie zu Beginn meiner Frage gesagt durch die
> Anwendung von [mm]\wurzel[3][/mm] auf beide Seiten)
>
> [mm]w_{1}=-2 \Rightarrow z_{1}=-2-i[/mm]
>
>
> Ist jetzt [mm]|w_{1}|=\wurzel{(-2)^{2}+0^{2}}=2[/mm] mein r und
> [mm]tan(\varphi)=\bruch{0}{-2}[/mm] liefert mein [mm]\varphi?[/mm]
Hast du schon die eulersche Polarform kennengelernt?
Damit könntest du die Aufgabe relativ einfach lösen.
Valerie
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hab ich, ja
die sieht ja folgendermaßen aus:
[mm] z^{k}=|z|^{k}\*e^{ki\varphi}
[/mm]
aber wie hilft die weiter?
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Hallo nochmal,
Ja.
Du hast also: [mm]w=z+i[/mm]
[mm]w^3 = -8[/mm]
Hier steht ja eigentlich: [mm]w^3 = (-1) \cdot 8[/mm]
Das ist: [mm]w^3 = e^{-j\pi} \cdot 8[/mm]
Kommst du damit weiter?
Valerie
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Hallo, Valerie =)
entschuldige meine schlechten Manieren, ich bin nur latent frustriert.
ich versteh leider schon gar nicht, was du da gemacht hast...
> Hier steht ja eigentlich: [mm]w^3 = (-1) \cdot 8[/mm]
soweit klar...
> Das ist: [mm]w^3 = e^{-j\pi} \cdot 8[/mm]
das heißt ich habe
[mm] w^{3}=2^{3}\cdote^{-j\pi}
[/mm]
womit ich mein r direkt ablesen kann.
aber was ist das j, das du eingefügt hast? und wieso hast du ein negatives Vorzeichen davor?
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[mm]e^{j2\pi}=1
[/mm]
[mm]e^{j\pi}=e^{-j\pi}=-1
[/mm]
[mm]e^{j\bruch{\pi}{2}}=j
[/mm]
[mm]e^{-j\bruch{\pi}{2}}=-j
[/mm]
Das sind einfach die Beziehungen auf dem Einheitskreis.
Um an die Lösungen zu kommen setze also:
[mm]w^3=e^{-j\pi} \cdot 8 \cdot \underbrace{e^{jk\cdot 2\pi}}_{1}
[/mm]
Fasse die beiden e-funktionen zusammen, und ziehe die dritte Wurzel.
Die Lösungen erhält du dann für k=0,1,2.
Valerie
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