Lösungen des LGS bei 2 Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ebenen vergleichen |
Hallo
Es geht allgemein darum:
Wir sollen zwei Ebenen miteinander vergleichen, ob sie identisch, parallel sind oder sich schneiden.
Wenn ich nun ein LGS aufstelle, was bedeutet dann die Lösung:
1. LGS hat keine Lösung =Ebenen sind?
2. LGS hat unendlich viele Lösungen =Ebenen sind?
3. LGS hat eine Lösung =Ebenen sind?
4. LGS liefert eine wahre Aussage ( 50=50) =Ebenen sind?
5. LGS liefert eine unwahre Aussage (5=0) =Ebenen sind?
Vielen Dank
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Hallo!
> Es geht allgemein darum:
> Wir sollen zwei Ebenen miteinander vergleichen, ob sie
> identisch, parallel sind oder sich schneiden.
> Wenn ich nun ein LGS aufstelle, was bedeutet dann die
> Lösung:
> 1. LGS hat keine Lösung =Ebenen sind?
> 2. LGS hat unendlich viele Lösungen =Ebenen sind?
> 3. LGS hat eine Lösung =Ebenen sind?
> 4. LGS liefert eine wahre Aussage ( 50=50) =Ebenen sind?
> 5. LGS liefert eine unwahre Aussage (5=0) =Ebenen
> sind?
Bevor man das jetzt pauschal beantworten kann, solltest du noch kurz erklären, auf welcher Basis du das LGS aufstellst. Also, liegen beide Ebenen in Parameterform vor und du setzt sie gleich --> LGS, oder liegt eine Ebene in Koordinatenform vor und du setzt die eine Ebene in die Koordinatenform-Ebene ein --> LGS, oder liegt zweimal Koordinatenform vor --> LGS ?
Naja, eigentlich doch nicht so wichtig. Denn egal, welche Variante du nun wählst, wenn das LGS keine Lösung hat, bedeutet das, dass die Ebenen keine gemeinsamen Punkte haben, also:
> 1. LGS hat keine Lösung
--> Ebenen haben keine gemeinsamen Punkte, was im Raum soviel bedeutet wie: Die Ebenen sind parallel.
> 2. LGS hat unendlich viele Lösungen
--> Ein LGS, bei welchem zwei Ebenen verglichen werden, kann auf zwei verschiedene Weisen "unendlich viele" Lösungen haben.
-Einmal kommt dann sowas raus wie: Der Parameter r ist egal. Dann bedeutet das, die Ebenen haben eine Gerade aus gemeinsamen Punkten, d.h. sie schneiden sich.
-Es kann aber auch rauskommen, dass gleich zwei Parameter r,s egal sind. Dann bedeutet das, die Ebenen haben eine Ebene aus gemeinsamen Punkten, d.h. sie sind identisch.
> 3. LGS hat eine Lösung
Das geht bei Ebenenvergleichen nicht. Es würde bedeuten, dass die Ebenen nur einen gemeinsamen Punkt haben. (Wie soll das gehen  ?)
> 4. LGS liefert eine wahre Aussage ( 50=50) =Ebenen sind?
> 5. LGS liefert eine unwahre Aussage (5=0) =Ebenen
Für die Beantwortung dieser Fragen bräuchte man dann doch die genaue Methode, wie du auf das LGS kommst (siehe oben).
Grüße,
Stefan
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Beide liegen in Parameterform vor, ich setzte nur ein = zwischen sie.
Ist es immer so, dass wenn ich zwei Ebenen in Parameterform habe, nie ein eindeutiges Ergebniss herausbekomme?
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Hallo!
> Beide liegen in Parameterform vor, ich setzte nur ein =
> zwischen sie.
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> Ist es immer so, dass wenn ich zwei Ebenen in Parameterform
> habe, nie ein eindeutiges Ergebniss herausbekomme?
Ja. Wie gesagt, wenn ein eindeutiges Ergebnis für die vier Parameter herauskäme, würde das bedeuten, dass die beiden Ebenen nur einen gemeinsamen Punkt haben. In Anbetracht, dass Ebenen aber wie Holzplatten starr platt sind, ist es natürlich unmöglich, dass sich zwei solche Holzplatten nur an einer einzigen Stelle berühren, oder? 
Zu deinen beiden Aussagen d) und e)
Eine wahre Aussage in Form von 50 = 50 kann natürlich in einer Zeile des LGS auftreten. Da muss dann aber wirklich nur 50 = 50 stehen und nicht [mm] 50\lambda [/mm] = 50 oder so [mm] (\lambda [/mm] = Parameter). Das bedeutet dann aber erstmal nichts weiter. Es ergibt sich dann mehr aus den restlichen Gleichungen, wieviele Parameter also nicht eindeutig bestimmt sind, also du frei wählen kannst. Die Anzahl der frei wählbaren Parameter kann eins oder zwei betragen.
eins --> Schnittgerade
zwei --> Schnittebene --> Ebenen identisch.
Wenn eine falsche Aussage in deinem LGS auftritt in Form von 50 = 49 (aber nicht [mm] 50\lambda [/mm] = 49 oder so!), dann bedeutet das sofort, dass das LGS keine Lösung hat, d.h. die Ebenen haben keinen gemeinsamen Punkt, d.h. sie sind parallel.
Grüße,
Stefan
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Ok, soweit klar.
Was muss beim Lösen des LGS herauskommen, um sagen zu können, dass die zwei Ebenen identisch sind?
Ich habe ein LGS mit 4 Unbekannten...
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Hallo!
Nun, dann sollte eine der drei Gleichungs-Zeilen zu einer wahren Aussage werden (wie zum Beispiel 1 = 1). Damit muss man zwei Parameter frei wählen.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 So 01.11.2009 | | Autor: | abcdabcd2 |
Viele Dank für eure Antworten
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Hallo,
hattet Ihr die Normalenform/Koordinatenform der Ebenengleichung?
Kannst Du die Ebenen zügig in dieser Form darstellen? (Kreuzprodukt bekannt?)
Ich habe festgestellt, daß das Arbeiten hiermit für manche meiner Schüler viel einfacher ist als ein Hantieren mit einem Gleichungssystem mit 4 Unbekannten.
Anhand der Normalenvektoren kannst Du schonmal feststellen, ob die Ebenen parallel sind. Wenn ja, dann bleibt nur noch die Frage: sind sie identisch oder nicht? (Punktprobe)
Weisen die Normalenvektoren in verschiedene Richtungen, so kannst Du sicher sein, daß es eine Schnittgerade gibt.
in diesem Fall kannst Du die Parameterdarstellungder einen Gerade "etagenweise" in die Normalenform/Koordinatenform einsetzen, nach einem der beiden Parameter auflösen und das Ergebnis dann wieder in die Parameterdarstellung einsetzen. Damit hast Du die Schnittgerade.
Wenn Du's nicht in einem Rutsch verstehst, rechne mal langsam eine entsprechende Aufgabe.
Gruß v. Angela
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Hallo abcdabcd2,
> Ebenen vergleichen
> Hallo
> Es geht allgemein darum:
> Wir sollen zwei Ebenen miteinander vergleichen, ob sie
> identisch, parallel sind oder sich schneiden.
> Wenn ich nun ein LGS aufstelle, was bedeutet dann die
> Lösung:
> 1. LGS hat keine Lösung =Ebenen sind?
> 2. LGS hat unendlich viele Lösungen =Ebenen sind?
> 3. LGS hat eine Lösung =Ebenen sind?
> 4. LGS liefert eine wahre Aussage ( 50=50) =Ebenen sind?
> 5. LGS liefert eine unwahre Aussage (5=0) =Ebenen
> sind?
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") viele Anfragen zu diesem Thema
Gruß informix
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