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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Mi 20.02.2008 | | Autor: | knudsi |
Hallo, ich brauche den Bweis dafür, dass
[mm] \vektor{n+d-1\\ d-1} [/mm] die Lösung der Gleichung
[mm] k_{1} [/mm] + [mm] k_{2} [/mm] + [mm] k_{3} [/mm] + .... + [mm] k_{d} [/mm] = n
ist. Ich habe zwar eine anschauliche Erklärung dafür, das reicht aber nicht. Ich brauche einen formalen Bweis. Ich wär sehr dankbar, wenn mir geholfen werden kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo knudsi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo, ich brauche den Bweis dafür, dass
>
> [mm]\vektor{n+d-1\\ d-1}[/mm] die Lösung der Gleichung
>
> [mm]k_{1}[/mm] + [mm]k_{2}[/mm] + [mm]k_{3}[/mm] + .... + [mm]k_{d}[/mm] = n
>
> ist. Ich habe zwar eine anschauliche Erklärung dafür, das
> reicht aber nicht. Ich brauche einen formalen Bweis. Ich
> wär sehr dankbar, wenn mir geholfen werden kann.
So kann ich nichts mit anfangen.
Poste deshalb bitte die genaue Aufgabenstellung.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Mi 20.02.2008 | | Autor: | knudsi |
Hallo,
ich habe leider keine konkrete Aufgabenstellung. Es ist nur gesagt, dass die Dimension von Sym(W) gleich der Anzahl der nicht-negativen ganzzahligen Lösungen der oben genannten Gleichung ist und diese gleich der oben aufgeführten Matrix sein soll.
Ich hoffe das genügt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Mi 20.02.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo knudsi,
> Hallo,
> ich habe leider keine konkrete Aufgabenstellung. Es ist
> nur gesagt, dass die Dimension von Sym(W) gleich der Anzahl
> der nicht-negativen ganzzahligen Lösungen der oben
> genannten Gleichung ist und diese gleich der oben
> aufgeführten Matrix sein soll.
> Ich hoffe das genügt
Für d=2 habe ich folgende ganzzahlige Lösungen:
[mm]k_{1},\ k_{2}[/mm]
[mm]0,\ n[/mm]
[mm]\dots,\ \dots[/mm]
[mm]n,\ 0[/mm]
Demnach n+1 ganzzahlige Lösungen.
Für d=3 habe ich folgende ganzzahlige Lösungen:
[mm]k_{1},\ k_{2}, \ k_{3}[/mm]
[mm]0,\ 0 ,\ n[/mm]
[mm]0, \ \dots,\ \dots[/mm]
[mm]0, \ n,\ 0[/mm]
[mm]1,\ 0, \ n-1[/mm]
[mm]1,\ \dots, \ \dots [/mm]
[mm]1,\ n-1, \ 0[/mm]
[mm]\dots,\ \dots, \ \dots [/mm]
[mm]n-1,\ 0, \ 1[/mm]
[mm]n-1,\ 1, \ 0 [/mm]
[mm]n,\ 0, \ 0[/mm]
Demnach [mm]\summe_{i=1}^{n+1}{i}=\bruch{\left(n+1\right) \left(n+2\right)}{2}[/mm] Lösungen.
Und was ist Sym(W)?
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:35 Mi 20.02.2008 | | Autor: | knudsi |
Sym(W) ist der Raum der symmetrischen Tensoren.
Irgendwie muss man ja für d auf diesen binomial-Koeffizienten kommen. Für d=3 sieht es ja schon mal seh danach aus....
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Hallo knudsi,
> Sym(W) ist der Raum der symmetrischen Tensoren.
> Irgendwie muss man ja für d auf diesen
> binomial-Koeffizienten kommen. Für d=3 sieht es ja schon
> mal seh danach aus....
Für d=4 gehst analog vor:
Ist [mm]k_{1}=0[/mm] so gibt es für [mm]k_{2}[/mm] bis [mm]k_{4}[/mm] noch [mm]\bruch{\left(n+1\right) \left(n+2\right)}{2}=\pmat{ n+2 \\ 2}[/mm] Möglichkeiten.
Für [mm]k_{1}=1[/mm] gibt es dann demnach für [mm]k_{2}[/mm] bis [mm]k_{4}[/mm] noch [mm]\bruch{n \left(n+2\right)}{2}=\pmat{ n+1 \\ 2}[/mm] Möglichkeiten.
Das geht so weiter bis:
Für [mm]k_{1}=n-1[/mm] gibt es dann demnach für [mm]k_{2}[/mm] bis [mm]k_{4}[/mm] noch [mm]\bruch{2 *3}{2}=\pmat{ 3 \\ 2}[/mm] Möglichkeiten.
Für [mm]k_{1}=n[/mm] gibt es dann demnach für [mm]k_{2}[/mm] bis [mm]k_{4}[/mm] noch [mm]\bruch{1 *2}{2}=\pmat{ 2 \\ 2}[/mm] Möglichkeiten.
Die Gesamtzahl der Möglichkeiten beläuft sich dann auf:
[mm]\summe_{k=0}^{n}\pmat{ n+2-k \\ 2 }=\pmat{n+3 \\ 3 }[/mm]
Das kann auch allgemein durch vollständige Induktion bewiesen werden.
Gruß
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:44 Do 17.04.2008 | | Autor: | knudsi |
Hallo, wie würde denn nun die vollständige Induktion dazu aussehen? Ich bin bei einem Versuch kläglich gescheitert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:27 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo knudsi!
Wie sieht denn Dein bisheriger Versuch aus? Bitte poste diesen mal, damit wir Dir auch konkret weiterhelfen können ...
Gruß
Loddar
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:00 Fr 18.04.2008 | | Autor: | knudsi |
Ich habe quasi nur den Induktionsanfang gemacht. Einmal über n und einmal über d.
Für d=1:
[mm] k_{1} [/mm] = n, Also ist die Lösung [mm] \vektor{n+1-1\\ n} [/mm] = [mm] \vektor{n\\n} [/mm] = 1
Die Behauptung gilt also für ein d.
Dann ist zu zeigen, dass für d+1 gilt:
[mm] k_{1}+...+k_{d+1} [/mm] = n, Lösung soll sein [mm] \vektor{n+d\\n}
[/mm]
Induktion über n:
Für n=1 gilt:
[mm] k_{1}+...+k_{d}=1 \Rightarrow \vektor{1+d-1\\1} [/mm] = [mm] \vektor{d\\1} [/mm] = d.
Es gilt nun für ein n.
Für n+1 soll gelten:
[mm] k_{1}+...+k_{d} [/mm] = n+1 und somit [mm] \vektor{n+d\\n+1}
[/mm]
Weiter komm ich nicht. Leider.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:57 Mi 23.04.2008 | | Autor: | knudsi |
Weiß jemand, wie ich nun die vollständige Induktion weiterführen kann?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Fr 25.04.2008 | | Autor: | knudsi |
Weiß jemand, wie ich nun die vollständige Induktion weiterführen kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:39 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
> Für d=1:
> $ [mm] k_{1} [/mm] $ = n, Also ist die Lösung $ [mm] \vektor{n+1-1\\ n} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{n\\n} [/mm] $ = 1
Gut, das kann so bleiben.
IS: d [mm] \to [/mm] d+1
Es gilt
[mm] k_{1}+...+k_{d}=n [/mm] hat [mm] \vektor{n+d-1\\d-1} [/mm] Lösungen.
Dann hat [mm] k_{1}+...+k_{d}+k_{d+1}=n
[/mm]
für den Fall [mm] k_{d+1}=0 \gdw k_{1}+...+k_{d}=n [/mm] genau [mm] \vektor{n+d-1\\d-1} [/mm] Lösungen.
für den Fall [mm] k_{d+1}=1 \gdw k_{1}+...+k_{d}=n-1 [/mm] genau [mm] \vektor{n-1+d-1\\d-1} [/mm] Lösungen.
...
macht zusammen ...
Ciao.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Fr 25.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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