Lösungen einer Gleichung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Mi 28.10.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle rationalen Lösungen [mm] (x,y)\in \IQ^2 [/mm] der Gleichung [mm] y^2=x^2+5x. [/mm] |
Hallo Miteinander,
die Lösungen, die obige Gleichung erfüllen sehen wie folgt aus:
[mm] (x,y)=(\bruch {5}{t^2-1},\bruch {5t}{t^2-1})
[/mm]
Das müsste stimmen, aber wär schön wenns jemand bestätigen könnte.
Das eigentliche Problem ist jetzt aber, dass dies ja alle Lösungen sind wir jedoch nur alle rationalen haben möchten. Ich hab jetzt versucht zu zeigen, dass für (x,y) rational auch t schon rational ist haut aber nich so ganz hin.
Mein Ansatz: Sei x rational. Dann ist [mm] x=\bruch {5}{t^2-1} \gdw t=\wurzel{\bruch{5}{x}+1} [/mm] was aber eben nicht rational ist, sollte es aber sein. Kann jemand helfen? Danke schon mal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Mi 28.10.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ist es vielleicht möglich, dass das ganze total einfach ist und es einfach so ist, dass [mm] t=\bruch{y}{x} [/mm] und da sowohl x als auch y rational sind, ist auch [mm] t\in \IQ. [/mm] Oder doch nich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Mi 28.10.2009 | | Autor: | Herby |
Hi,
irgendwas stimmt da nicht, oder? Links steht im Zähler sonst ein [mm] t^2 [/mm] und rechts nicht, glaube ich 
Lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Mi 28.10.2009 | | Autor: | kegel53 |
Nein, es steht auf beiden Seiten ein [mm] t^2 [/mm] also muss dich enttäuschen aber das stimmt schon so. Wie gesagt weiß nur nich wie ich jetz auf die Einschränkung 'nur alle rationalen Lösungen' komme. Hättest ne Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Mi 28.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast alle Lösungen.
wenn t nicht rational ist folgt y nicht rational, wenn [mm] t^2 [/mm] nicht rational dann ist weder x noch y rational.
wo sind deine Schwierigkeiten'
da aus t rationa folgt [mm] t^2 [/mm] rational bistdu doch fertig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Mi 28.10.2009 | | Autor: | kegel53 |
Das Problem ist, dass ich des noch zeigen soll und zwar lau meiner Tutorin auf eine bestimmte Weise. Hier der Hinweis von ihr:
Du nimmst eine rationale Lösung (x,y)=(f(t),g(t)). Jetzt löst du die Gleichungen nach t auf und begründest warum t rational ist. Dann hast du gezeigt, dass du mit rationalem t alle rationalen Lösungen bekommst.
Das hab ich versucht zu machen, aber nicht hingekriegt. Hast du ne Idee wie das gehen könnte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Das Problem ist, dass ich des noch zeigen soll und zwar lau
> meiner Tutorin auf eine bestimmte Weise. Hier der Hinweis
> von ihr:
> Du nimmst eine rationale Lösung (x,y)=(f(t),g(t)). Jetzt
> löst du die Gleichungen nach t auf und begründest warum t
> rational ist. Dann hast du gezeigt, dass du mit rationalem
> t alle rationalen Lösungen bekommst.
>
> Das hab ich versucht zu machen, aber nicht hingekriegt.
> Hast du ne Idee wie das gehen könnte?
Leduart hat dir skizziert, wie du genau das tust. Nach genau der Methode, die deine Tutorin wohl auch meint.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Mi 28.10.2009 | | Autor: | kegel53 |
Tut mir leid, aber ich seh zwischen dem Lösungsvorschlag meiner Tutorin und dem Hinweis von leduart nich so recht ne Verbindung. Könntest du mir des erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Tut mir leid, aber ich seh zwischen dem Lösungsvorschlag
> meiner Tutorin und dem Hinweis von leduart nich so recht ne
> Verbindung. Könntest du mir des erklären?
Du kannst die rationale Loesung $(x, y) [mm] \in \IQ^2$ [/mm] doch beschreiben als $x = [mm] \frac{5}{t^2 - 1}$, [/mm] $y = [mm] \frac{5 t}{t^2 - 1}$, [/mm] und hast nachgerechnet, dass dann $t = [mm] \sqrt{\frac{5}{x} + 1}$ [/mm] ist. Weiterhin siehst du damit $y = t x$.
Ist $x [mm] \neq [/mm] 0$, so folgt sofort $t [mm] \in \IQ$. [/mm] Ist $x = 0$, so nach dieser Gleichung auch $y = 0$, was aber nicht sein kann. Also tritt dieser Fall nicht ein.
Das ist das was Leduart sagte. Deine Tutorin meinte du sollst dir eine Loesung $(x, y)$ nehmen und sie als $x = f(t)$, $y = g(t)$ schreiben: hier ist $f(t) = [mm] \frac{5}{t^2 - 1}$ [/mm] und $g(t) = [mm] \frac{5 t}{t^2 - 1}$. [/mm] Dann sagte sie, du sollst diese Gleichungen nach $t$ aufloesen: daraus erhaelst du $y = t x$ und $t = [mm] \sqrt{\frac{5}{x} + 1}$. [/mm] Also genau das was oben auch steht. Und dann sollst du daraus schliessen, dass $t [mm] \in \IQ$ [/mm] sein muss -- z.B. genauso wie Leduart das vorgeschlagen hat.
Jetzt klarer?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Mi 28.10.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ja okay der Nebel lichtet sich. Trotzdem nochmal die Frage von ganz am Anfang: Warum folgt sofort - x ungleich 0 mal vorausgesetzt- dass [mm] t\in \IQ?? [/mm] Ich mein da is doch ne Wurzel mit im Spiel. Oder seh ich da was falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ja okay der Nebel lichtet sich. Trotzdem nochmal die Frage
> von ganz am Anfang: Warum folgt sofort - x ungleich 0 mal
> vorausgesetzt- dass [mm]t\in \IQ??[/mm] Ich mein da is doch ne
> Wurzel mit im Spiel. Oder seh ich da was falsch?
1) $x [mm] \in \IQ$
[/mm]
2) $y [mm] \in \IQ$
[/mm]
3) $x [mm] \neq [/mm] 0$
4) $y = t x$
Daraus folgt $t [mm] \in \IQ$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Mi 28.10.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay is jetz klar vielen Dank für die Mühe. Aber ich versteh nich wozu ich dann überhaupt die Gleichungen nach t auflösen muss kann ich mir doch sparen. Es reicht doch vollkommen, wenn ich erkenne dass y=tx ist und dann so vorgehe wie du es eben auch gezeigt hast oder nich? Also ich mein wozu muss ich denn wissen dass [mm] t=\wurzel{\bruch{5}{x}+1} [/mm] ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Okay is jetz klar vielen Dank für die Mühe. Aber ich
> versteh nich wozu ich dann überhaupt die Gleichungen nach
> t auflösen muss kann ich mir doch sparen. Es reicht doch
> vollkommen, wenn ich erkenne dass y=tx ist und dann so
> vorgehe wie du es eben auch gezeigt hast oder nich? Also
> ich mein wozu muss ich denn wissen dass
> [mm]t=\wurzel{\bruch{5}{x}+1}[/mm] ist?
Es gibt mehrere Wege. Wissen muss man das nicht.
LG Felix
PS: $x = y = 0$ ist uebrigens auch eine Loesung, die nicht von der Form [mm] $(\frac{5}{t^2 - 1}, \frac{5 t}{t^2 - 1})$ [/mm] ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 Mi 28.10.2009 | | Autor: | kegel53 |
Alles klar. Gut dann danke nochmals, man des war aber auch eine Geburt :).
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