Lösungen von z^6=1 kartesisch < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:24 Di 03.06.2008 | | Autor: | TheQ |
| Aufgabe | | Bestimmen sie alle Lösungen von [mm] x^6 [/mm] = 1 in kartesischen Koordinaten, Polarkoordinaten und exponentieller Darstellung |
1 und -1 sind natürlich klar. Dann gibt es aber noch die Lösungen
[mm] \pm \bruch{1}{2} \pm \bruch{\wurzel{3}}{2}i
[/mm]
Wie findet man die heraus? Bis jetzt ist das bei mir ein richtiges Ratespiel. Das Umrechnen ist dann auch kein Problem...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:35 Di 03.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo TheQ!
Du solltest Du hier die ![[]](/images/popup.gif) MOIVRE-Formel anwenden:
$ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right] [/mm] $ mit $k \ = \ 0 \ ... \ (n-1)$
Dabei gilt: $r \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2}$ [/mm] sowie [mm] $\tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y}{x}$
[/mm]
In Deinem Falle gilt ja: $x \ = \ 1$ sowie $y \ = \ 0$ , damit [mm] $\varphi [/mm] \ = \ 0$ sowie $n \ = \ 6$ .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:08 Di 03.06.2008 | | Autor: | TheQ |
Dann gilt z = 1 für k = 0, da dann der cosinus von 0+0*12/6 = 1 entsteht und der sinus 0 wird, oder?
|
|
|
| |
|
> Dann gilt z = 1 für k = 0, da dann der cosinus von 0+0*12/6
> = 1 entsteht und der sinus 0 wird, oder?
Hallo,
ja, eine der Lösungen v. [mm] z^6=1, [/mm] eine der sechsten Wurzeln aus 1, ist z=1. (Was Dir ja nichts Neues ist.)
Gruß v. Angela
|
|
|
|
