Lösungsansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Di 06.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung:
[mm] $y'+xy=\frac{y}{x}$ [/mm] |
Meine Idee:
Ich multipliziere die gesamte Gleichung mit x und erhalte so:
$x(y'+xy)=y$
Um nun die homogene Lösung zu bestimmen, setze ich die rechte Seite gleich Null und erhalte über den üblichen Weg:
[mm] $y_0=c*e^{\frac{-x^2}{2}}$
[/mm]
Soweit sollte das ja noch nachvollziehbar sein.
Jetzt aber habe ich mich gefragt "Wie komme ich auf die partikuläre Lösung und damit auf die allgemeine?"
Ich habe es mit Substitution und Variation der Konstanten versucht, aber die Ergebnisse erschienen mir doch reichlich kompliziert.
Laut Wolfram-Alpha ist die Lösung [mm] $x*c*e^{\frac{-x^2}{2}}$ [/mm] und da bin ich auf den Gedanken gekommen, dass ja meine umgestellte Ausgangsgleichung $x(y'+xy)=y$ eigentlich sagt, dass die Lösung (also y) dem x-fachen der homogenen Lösung entspricht. Oder anders gesagt anhand der Original Ausgangsgleichung: Die homogene Lösung ist der Quotient aus der allgemeinen Lösung und x, also ist die allgemeine Lösung das Produkt aus der homogenen Lösung und x.
Kann man das so begründen oder gibt es noch einen Weg das ganze anders zu bestimmen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Di 06.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung:
>
> [mm]y'+xy=\frac{y}{x}[/mm]
>
> Meine Idee:
>
> Ich multipliziere die gesamte Gleichung mit x und erhalte
> so:
>
> [mm]x(y'+xy)=y[/mm]
>
> Um nun die homogene Lösung zu bestimmen, setze ich die
> rechte Seite gleich Null
Aua !!!! Und was ist mit demm y auf der linken Seite ??? Nee, so geht das nicht.
Die Dgl.
$ [mm] y'+xy=\frac{y}{x} [/mm] $
ist doch nach Auflösen nach y':
(*) [mm] y'=(\frac{1}{x}-x)y
[/mm]
(*) ist eine lineare, homogene Dgl. 1. Ordnung.
FRED
> und erhalte über den üblichen
> Weg:
>
> [mm]y_0=c*e^{\frac{-x^2}{2}}[/mm]
>
> Soweit sollte das ja noch nachvollziehbar sein.
> Jetzt aber habe ich mich gefragt "Wie komme ich auf die
> partikuläre Lösung und damit auf die allgemeine?"
> Ich habe es mit Substitution und Variation der Konstanten
> versucht, aber die Ergebnisse erschienen mir doch reichlich
> kompliziert.
>
> Laut Wolfram-Alpha ist die Lösung [mm]x*c*e^{\frac{-x^2}{2}}[/mm]
> und da bin ich auf den Gedanken gekommen, dass ja meine
> umgestellte Ausgangsgleichung [mm]x(y'+xy)=y[/mm] eigentlich sagt,
> dass die Lösung (also y) dem x-fachen der homogenen
> Lösung entspricht. Oder anders gesagt anhand der Original
> Ausgangsgleichung: Die homogene Lösung ist der Quotient
> aus der allgemeinen Lösung und x, also ist die allgemeine
> Lösung das Produkt aus der homogenen Lösung und x.
>
> Kann man das so begründen oder gibt es noch einen Weg das
> ganze anders zu bestimmen?
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