Lösungsmenge + kompl. Ebene < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:49 Mo 16.01.2012 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in [mm] \IC [/mm] und skizzieren Sie diese in der komplexen Ebene:
(a) z + [mm] \overline{z} [/mm] = 6
(b) z - [mm] \overline{z} [/mm] = 6i
(c) z [mm] \overline{z} [/mm] - z + [mm] \overline{z} [/mm] = 1 |
Guten Morgen,
Ich habe nicht wirklich eine Idee, wie ich da vorgehe. Schreibe ich erstmal z = a + ib?
Dann hätte ich bei (a) ja schonmal
a + ib + a - ib = 6
[mm] \gdw [/mm] 2a = 6
[mm] \gdw [/mm] a = 3
Was ja heißen würde das die Gleichung für alle komplexen Zahlen erfüllt ist,
deren Re z = 3 ist. Also [mm] \IL [/mm] = {z [mm] \in \IC [/mm] | Re z = 3}.
Also das klingt irgendwie richtig, aber bin mir weder bei der Schreibweise für die
Lösungsmenge sicher noch bei der Rechnung. Kann mir einer weiterhelfen?
Gruß
al3pou
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 Mo 16.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen
> in [mm]\IC[/mm] und skizzieren Sie diese in der komplexen Ebene:
>
> (a) z + [mm]\overline{z}[/mm] = 6
> (b) z - [mm]\overline{z}[/mm] = 6i
> (c) z [mm]\overline{z}[/mm] - z + [mm]\overline{z}[/mm] = 1
> Guten Morgen,
>
> Ich habe nicht wirklich eine Idee, wie ich da vorgehe.
> Schreibe ich erstmal z = a + ib?
> Dann hätte ich bei (a) ja schonmal
>
> a + ib + a - ib = 6
> [mm]\gdw[/mm] 2a = 6
> [mm]\gdw[/mm] a = 3
>
> Was ja heißen würde das die Gleichung für alle komplexen
> Zahlen erfüllt ist,
> deren Re z = 3 ist. Also [mm]\IL[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {z [mm]\in \IC[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Re z = 3}.
>
> Also das klingt irgendwie richtig, aber bin mir weder bei
> der Schreibweise für die
> Lösungsmenge sicher noch bei der Rechnung. Kann mir einer
> weiterhelfen?
Dir muß keiner weiterhelfen, Du hast alles richtig gemacht.
FRED
>
> Gruß
> al3pou
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:55 Mo 16.01.2012 | | Autor: | al3pou |
Das ist ja schön :) und für die Zeichnung wäre das einfach eine senkrechte Grade auf der "x" - Achse bei 3?
Gruß
al3pou
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 Mo 16.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Das ist ja schön :) und für die Zeichnung wäre das
> einfach eine senkrechte Grade auf der "x" - Achse bei 3?
Ja
FRED
>
> Gruß
> al3pou
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:15 Mo 16.01.2012 | | Autor: | al3pou |
Alles klar. Dann habe ich (a) und (b) richtig, aber bei (c) hänge ich fest.
z [mm] \overline{z} [/mm] - z + [mm] \overline{z} [/mm] = 1
wieder ist z = a + ib
[mm] \Rightarrow [/mm] (a + ib)(a - ib) - (a + ib) + (a - ib) = 1
[mm] \gdw a^{2} [/mm] - [mm] i^{2}b^{2} [/mm] - a - ib + a - ib = 1
[mm] \gdw a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] - 2 ib = 1
und wie machen ich nun weiter? Mache ich nen Koeffizientenvergleich? Also
I - 2ib = 1
II [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] = 0
Gruß
al3pou
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Mo 16.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Alles klar. Dann habe ich (a) und (b) richtig, aber bei (c)
> hänge ich fest.
>
> z [mm]\overline{z}[/mm] - z + [mm]\overline{z}[/mm] = 1
>
> wieder ist z = a + ib
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (a + ib)(a - ib) - (a + ib) + (a - ib) = 1
> [mm]\gdw a^{2}[/mm] - [mm]i^{2}b^{2}[/mm] - a - ib + a - ib = 1
> [mm]\gdw a^{2}[/mm] + [mm]b^{2}[/mm] - 2 ib = 1
>
> und wie machen ich nun weiter? Mache ich nen
> Koeffizientenvergleich? Also
>
> I - 2ib = 1
> II [mm]a^{2}[/mm] + [mm]b^{2}[/mm] = 0
Andersrum: es ist
-2b=0
[mm] a^2+b^2=1
[/mm]
FRED
>
> Gruß
>
> al3pou
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 Mo 16.01.2012 | | Autor: | al3pou |
Warum lasse ich in der ersten Gleichung die imaginäre Einheit weg?
Gruß
al3pou
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Hallo,
> Warum lasse ich in der ersten Gleichung die imaginäre
> Einheit weg?
auf der rechten Seite der Gleichung steht mit der 1 eine reelle Zahl...
Gruß, Diophant
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