Lösungsmenge, Gleichungssystem < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Carlo |
| Aufgabe | Zeige, dass das folgende lineare Gleichungssystem genau für einen Wert t [mm] \in \IR [/mm] lösbar ist und bestimme für dieses t die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
[mm] x_1 [/mm] - [mm] 3x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = -2
[mm] -2x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] - [mm] 3x_3 [/mm] =1
[mm] 2x_1 [/mm] - 16 [mm] x_2 [/mm] + 6 [mm] x_3 [/mm] = t |
So nun habe ich nach Gauß umgeformt und komme auf folgendes:
[mm] \pmat{ 2 & -6 & 4 & -4 \\ 0 & -10 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -10-t }
[/mm]
Wenn t= -10 ist, dann bekommt man doch unendlich viele Lösungen raus oder ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 Mi 20.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeige, dass das folgende lineare Gleichungssystem genau
> für einen Wert t [mm]\in \IR[/mm] lösbar ist und bestimme für
> dieses t die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
>
> [mm]x_1[/mm] - [mm]3x_2[/mm] + [mm]2x_3[/mm] = -2
> [mm]-2x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] - [mm]3x_3[/mm] =1
> [mm]2x_1[/mm] - 16 [mm]x_2[/mm] + 6 [mm]x_3[/mm] = t
> So nun habe ich nach Gauß umgeformt und komme auf
> folgendes:
>
>
> [mm]\pmat{ 2 & -6 & 4 & -4 \\ 0 & -10 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -10-t }[/mm]
>
>
> Wenn t= -10 ist, dann bekommt man doch unendlich viele
> Lösungen raus oder ?
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Was mache ich nun ?
t= -10
[mm] -10x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = -6
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{6}{10}
[/mm]
Das kann ich bestimmt nicht machen oder ? Ich muss doch iwie das t berücksichtigen, aber die Frage ist wie ? :S
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Zu aller erst sollst du ja zeigen, dass es für genau ein t lösbar ist.
Du hast ja schon ein t für das es geht, also musst du noch zeigen, dass dieses t das einzige ist.
Und wenn du das gezeigt hast setzt du einfach t = -10 ein, dann hast du ja nur noch Zahlen und kannst das LGS ganz normal lösen.
Also nein, wenn du gezeigt hast, dass -10 die einzige Lösung ist dann musst du es nicht mehr berücksichtigen. ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Hallo 
Also reicht es aus, wenn ich einfach t berechne und einfach drauf loslöse ?
-10 [mm] x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = -6
[mm] x_3 [/mm] ist ja gleich 0, also setze ich das ein und bekomme [mm] x_2= \bruch{6}{10} [/mm] heraus, diesen Wert setze ich dann in
[mm] 2x_1-6x_2+4x_3 [/mm] = -6 ein und bekomme [mm] x_1= [/mm] -4,8
Und die Lösungsmenge ist dann :
[mm] \vektor{-4,8 \\ \bruch{6}{10} \\ 0} [/mm] , wenn t=-10 ??
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Hallo, zunächst ist doch zu zeigen, nur für t=-10 ist dein Gleichungssystem lösbar, betrachte die 3. Zeile, dort steht
[mm] 0*x_1+0*x_2+0*x_3=-10-(-10)
[/mm]
überlege dir, was passiert, wenn du für t eine andere Zahl einsetzt
aus der zweiten Zeile hast du korrekt gefolgert
[mm] -10*x_2+2*x_3=-6
[/mm]
du kannst doch nicht einfach [mm] x_3=0 [/mm] setzen, sicherlich ist dann dein [mm] x_2=\bruch{3}{5} [/mm] korrekt, ebenso wäre [mm] x_3=1 [/mm] und [mm] x_2=\bruch{4}{5} [/mm] eine Lösung, es gibt unendlich viele Lösungen, setzt [mm] x_3=p, [/mm] wobei p ein frei wählbarer Parameter ist
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Wenn ich für t eine andere Zahl als -10 einsetzte, bekomme ich keine Lösung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Stoecki |
richtig. und deshalb ist das gleichungssystem auch nur für dieses t lösbar. jedes andere erzeugt einen widerspruch
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Hallo Carlo,
für [mm]t=-10[/mm] hast du in der letzten Zeile stehen:
[mm]0=0[/mm]
Du hast also eine freie Variable, setze [mm]x_3=\lambda, \ \lambda\in\IR[/mm] und bestimme aus den anderen beiden Gleichungen die Lösungen für [mm]x_1,x_2[/mm] in Abhängigkeit von [mm]\lambda[/mm]
Dann hast du die Lösungsgesamtheit ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Das war meine eigentliche Frage, darf ich für [mm] x_3= [/mm] 0 nehmen oder muss ich [mm] x_3 [/mm] = [mm] \lambda [/mm] nehmen, sprich einen freien Parameter mit einbauen ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Mi 20.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Das war meine eigentliche Frage, darf ich für [mm]x_3=[/mm] 0
> nehmen
Nein.
> oder muss ich [mm]x_3[/mm] = [mm]\lambda[/mm] nehmen, sprich einen
> freien Parameter mit einbauen ...
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Gut. Vielen Dank!
Nun habe ich für [mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{-38-14 \lambda}{10}
[/mm]
[mm] x_2= \bruch{-6-2 \lambda}{-10}
[/mm]
und [mm] x_3 [/mm] = [mm] \lambda [/mm] heraus.
Lösungsmenge:
[mm] \vektor{ \bruch{-38-14 \lambda}{10} \\ \bruch{-6-2 \lambda}{-10} \\ \lambda}
[/mm]
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Hallo, [mm] x_2 [/mm] ist korrekt, kürze aber noch mit -2, bei [mm] x_1 [/mm] überprüfe den 1. Summanden im Zähler, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Carlo |
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{-3- \lambda}{5} [/mm] und [mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{-24-7\lambda}{5}
[/mm]
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Hallo, du hattest doch [mm] x_2=\bruch{-6-2 \lambda}{-10}=\bruch{3+ \lambda}{5} [/mm] schon richtig, jetzt langsam an [mm] x_1, [/mm] rechne vor, wir finden den Fehler, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Also
[mm] 2x_1 [/mm] - 6* [mm] \bruch{-6-2 \lambda}{-10} [/mm] + 4 [mm] \lambda [/mm] = -4
[mm] 2x_1 [/mm] - [mm] \bruch{-36-12 \lambda}{-10} [/mm] + 4 [mm] \lambda [/mm] = -4 | -4 [mm] \lambda
[/mm]
20 [mm] x_1 [/mm] - (-36) -12 [mm] \lambda [/mm] = -40 - 40 [mm] \lambda [/mm] |-36
20 [mm] x_1 [/mm] - 12 [mm] \lambda [/mm] = -76 - 40 [mm] \lambda [/mm] |:2
10 [mm] x_1 [/mm] -6 [mm] \lambda [/mm] = -38 - 20 [mm] \lambda [/mm] | +6 [mm] \lambda [/mm]
10 [mm] x_1 [/mm] = -38 -14 [mm] \lambda [/mm] | :10
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{-38 -14 \lambda}{10}
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{-19-7 \lambda}{5}
[/mm]
So siehts aus Steffi...
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Hallo, zweite Zeile ok, im Nenner steht -10, also auch mit -10 multiplizieren
[mm] -20x_1-(-36-12\lambda)=40+40\lambda
[/mm]
so jetzt sollte es klappen
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Carlo |
So nun hoffe ich mal, dass das richtig ist
[mm] \vektor{\bruch{1+13 \lambda}{-5} \\ \bruch{3+ \lambda}{5} \\ \lambda}
[/mm]
[mm] \vektor{\bruch{-1}{5} \\ \bruch{3}{5} \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{13 \\ 1 \\ 1} [/mm] mit [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
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Hallo dann will ich dich mal erlösen mit [mm] x_1, [/mm] du hattest
[mm] -20x_1-(-36-12\lambda)=40+40\lambda
[/mm]
[mm] -20x_1+36+12\lambda=40+40\lambda
[/mm]
[mm] -20x_1=40+40\lambda-36-12\lambda
[/mm]
[mm] -20x_1=4+28\lambda
[/mm]
[mm] x_1=\bruch{4+28\lambda}{-20}=\bruch{-1-7\lambda}{5}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Vielen Dank Steffi!
Ist das mit der Vektorschreibweise eigentlich richtig ?
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Hallo, kannst du so schreiben, aber korrekt einsetzen
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=\vektor{-\bruch{1}{5} \\ \bruch{3}{5} \\ 0}+\lambda\vektor{-\bruch{7}{5} \\ \bruch{1}{5} \\ 1}
[/mm]
Steffi
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