Lösungsmenge LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei A = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 8 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 } \in M_{4,5}(\IR) [/mm] . Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax = b für ein beliebiges b [mm] \in \IR^{4}. [/mm] |
Hallo Leute,
kann mir jemand bei der Bewältigung dieser Aufgabe helfen?
Ich habe bereits versucht die Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen, aber irgendwie komme ich da auf nichts vernünftiges! Oder ist mein Ansatz schon falsch? Hoffe Ihr könnt mir helfen!
Viele liebe Grüße der mathedepp_No.1
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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HILFE?!
kann mir denn niemand weiterhelfen! Ich bin am verzweifeln...:-( lg der mathedepp_No.1
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> Sei A = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 8 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 } \in M_{4,5}(\IR)[/mm]
> . Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen
> Gleichungssystems Ax = b für ein beliebiges b [mm]\in \IR^{4}.[/mm]
>
> Hallo Leute,
>
> kann mir jemand bei der Bewältigung dieser Aufgabe helfen?
> Ich habe bereits versucht die Matrix auf Zeilenstufenform
> zu bringen, aber irgendwie komme ich da auf nichts
> vernünftiges! Oder ist mein Ansatz schon falsch?
Hallo,
das mit der Zeilenstufenform ist nicht so übel, denn Du brauchst ja zunächst die Lösung des homogenen Gleichungssystems.
Ob Du wirklich etwas falsch gemacht hast oder ob Du Dein Ergebnis nur nicht richtig interpretieren kannst, könnte man sagen, wenn man es sähe.
Gruß v. Angela
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hi angela,
erstmal vielen dank für deine Antwort.
also, bei mir sieht dass dann so aus, wenn ich versuche das homogene gleichungssystem versuche in zeilenstufenform zu bekommen :
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -7 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 } \* \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5} [/mm] = [mm] \vektor{b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4}
[/mm]
so und jetzt bleib ich stecken! stimmt das so? oder ist meine zeilenstufenform schon falsch? Kann mir jemand das nochmal zeigen, werde aus meinem skript diesbezüglich nicht schlau, weil wir dord nur mit quadratioschen marizen opperriert haben...viele grüße der mathedepp
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bzw. zuerst mal so :
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -7 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
aber wrum muss ich denn zuerst die lösungen des homogen LGS berechnen???wofür brauch ich das?? wäre nett wenn du mirzeigen könntest wie ich da verfahre mit zeilenstufenform und, und und....liebe grüße mathedepp
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> bzw. zuerst mal so :
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> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -7 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 }[/mm]
> * [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> aber wrum muss ich denn zuerst die lösungen des homogen LGS
> berechnen???wofür brauch ich das?? wäre nett wenn du
> mirzeigen könntest wie ich da verfahre mit zeilenstufenform
> und, und und....liebe grüße mathedepp
Hallo,
FALLS Dein inhomogenes GS eine Lösung hast, findest Du die Menge der Lösungen wie folgt: Du suchst eine Lösung [mm] x_b [/mm] des inhomogenen GS und "heftest" an diese den Lösungsraum des zugehörigen homogenen GS.
Warum funktioniert das? Sei [mm] x_b [/mm] so beschaffen, daß [mm] Ax_b=b.
[/mm]
Sei [mm] x_0 [/mm] Lösung des homogenen Systems, also [mm] Ax_0=0.
[/mm]
Dann löst [mm] x_0+x_b [/mm] das inhomogene System, denn es ist
[mm] A(x_0+x_b)=Ax_0+Ax_b=0+b=b
[/mm]
> [mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -7 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 }
[/mm]
----> [mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 }
[/mm]
----> [mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
----> [mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Was teilt uns das mit.
1. Es gibt keine eindeutige Lösung.
2. [mm] x_5=0
[/mm]
3. [mm] x_4=0
[/mm]
4. [mm] x_1 [/mm] ist beliebig, [mm] x_1=s [/mm] mit [mm] s\in \IR
[/mm]
5. [mm] x_3 [/mm] ist beliebig, [mm] x_3=t [/mm] mit t [mm] \in \IR
[/mm]
6. [mm] x_2=-2x_3=-2t.
[/mm]
Somit haben die Lösungen [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5} [/mm] des homogenen GS die Gestalt
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5}=\vektor{s \\ -2t \\ t \\ 0 \\ 0}=s\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}+t\vektor{0 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] für s,t [mm] \in \IR
[/mm]
Nun gilt es noch, ggf. eine spezielle Lösung zu ermitteln.
Hierzu formst Du die erweiterte Koeffizientenmatrix passend um.
Erweiterte Koeffizientenmatrix: A|b
Gruß v. Angela
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hallo angela,
erstmal vielen herzlichen Dank für deine ausfürliche Hilfe!
kann das bis jetzt alles super nachvollziehen! > > bzw. zuerst mal so :
> > Nun gilt es noch, ggf. eine spezielle Lösung zu ermitteln.
> > Hierzu formst Du die erweiterte Koeffizientenmatrix passend um.
Erweiterte Koeffizientenmatrix: A|b
Damit weiß ich leider jetzt aber nicht was du meinst? Soll ich jetzt genau das gleiche tun nur mit b= [mm] \vektor{b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4} [/mm] ??
Und wie kommen da die Lösungen des homogenen GS mit ins Spiel? oder sind die jetzt irrelevant weils ja keine eindeutige Lösung gab?? viele liebe grüße
mathedepp_No.1
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> hallo angela,
>
> erstmal vielen herzlichen Dank für deine ausfürliche
> Hilfe!
> kann das bis jetzt alles super nachvollziehen! > > bzw.
> zuerst mal so :
> > > Nun gilt es noch, ggf. eine spezielle Lösung zu
> ermitteln.
>
> > > Hierzu formst Du die erweiterte Koeffizientenmatrix
> passend um.
> Erweiterte Koeffizientenmatrix: A|b
>
> Damit weiß ich leider jetzt aber nicht was du meinst? Soll
> ich jetzt genau das gleiche tun nur mit b= [mm]\vektor{b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4}[/mm]
> ??
Mit
0 1 2 1 -1 | [mm] b_1
[/mm]
0 0 0 1 -1 | [mm] b_2
[/mm]
0 4 8 -3 1 | [mm] b_3 [/mm]
0 0 0 1 1 | [mm] b_4
[/mm]
Und daraus eine Lösung [mm] x_b [/mm] ermitteln.
Die Gesamtheit der Lösungen ist dann wie bereits gesagt [mm] x_b+s\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}+t\vektor{0 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] $ für s,t $ [mm] \in \IR [/mm] $
Gruß v. Angela
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Hi angela,
hab das jetzt mal soweit umgeformt bis ich nicht mehr weiter wusste:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] * [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5} [/mm] = [mm] \vektor{b_1 \\ b_2 \\ \bruch{b_4 - b_2}{2} \\ b_4 + b_3 + 6b_2 - 4b_1}
[/mm]
Jetzt weiß ich ja dass der term [mm] b_4 [/mm] + [mm] b_3 [/mm] + [mm] 6b_2 [/mm] - [mm] 4b_1 [/mm] = 0 sein muss damit das GS löbar ist.
Leider weiß ich jetzt nicht mehr weiter!!
muss ich jetzt noch weiterumformen? Stimmt das überhaupt? Hoffe du kannst mir abermals aus der Patsche helfen!
Viele Grüße
mathedepp_No.1
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> Hi angela,
>
> hab das jetzt mal soweit umgeformt bis ich nicht mehr
> weiter wusste:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
> * [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5}[/mm] = [mm]\vektor{b_1 \\ b_2 \\ \bruch{b_4 - b_2}{2} \\ b_4 + b_3 + 6b_2 - 4b_1}[/mm]
>
Hallo,
nachgerechnet habe ich das jetzt nicht, ich gehe fürs folgende davon aus, daß es stimmt.
(Oftmals ist es praktisch, weiter umzuformen, so daß man oberhalb der Diagonalen so viele Nullen wie möglich hat. Letzte Stelle eliminieren, vorletzte usw.)
> Jetzt weiß ich ja dass der term [mm]b_4[/mm] + [mm]b_3[/mm] + [mm]6b_2[/mm] - [mm]4b_1[/mm] = 0
> sein muss damit das GS löbar ist.
Genau. So kannst Du das hinschreiben.
"Für [mm]b_4[/mm] + [mm]b_3[/mm] + [mm]6b_2[/mm] - [mm]4b_1[/mm] [mm] \not=0 [/mm] hat das GS keine Lösung.
Sei nun [mm]b_4[/mm] + [mm]b_3[/mm] + [mm]6b_2[/mm] - [mm]4b_1[/mm] =0 "
Jetzt mußt Du nur eine einzige funktionierende Lösung finden.
0 0 0 0 1 [mm] \bruch{b_4 - b_2}{2}
[/mm]
sagt:
[mm] x_5=\bruch{b_4 - b_2}{2}
[/mm]
0 0 0 1 -1 [mm] b_2
[/mm]
sagt:
[mm] x_4=x_5+b_2=\bruch{b_4 - b_2}{2}+b_2
[/mm]
Ein Blick auf die umgeformte Matrix und die obere Zeile
0 1 2 1 -1 [mm] b_1
[/mm]
sagt:
Du darfst eine Variable frei wählen, z.B. [mm] x_3.
[/mm]
Da Du nur EINE Lösung benötigst, kannst Du sie zum Beispiel =0 setzen, aber [mm] =b_4 [/mm] oder =97 wäre ebenso gut.
Also [mm] x_3=0. [/mm] Dann ist
[mm] x_2=b_1-0-x_4+x_5=...
[/mm]
Fehlt noch [mm] x_1. x_1 [/mm] ist völlig frei. Also, da wir nur EINE Lösung benötigen, z.B.
[mm] x_1=0.
[/mm]
Eine spezielle Lösung [mm] x_b [/mm] des GS wäre also
[mm] x_b=\vektor{0 \\ b_1-0-x_4+x_5=... \\ 0 \\ \bruch{b_4 - b_2}{2}+b_2 \\ \bruch{b_4 - b_2}{2}}
[/mm]
Ob's stimmt, kannst Du zur Probe nachrechnen.
So. [mm] x_b [/mm] ist eine spezielle Lösung des inhomogenen GS.
Die Gesamtheit der Lösungen erhältst Du, wenn Du an diesen Speziallösungsvektor nun den Raum, den wir fürs homogene System errechnet hatten, anklebst.
Alle [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5} [/mm] der Gestalt
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5}=x_b [/mm] + [mm] s\vektor{. \\ . \\ . \\ . \\ .}+t\vektor{. \\ . \\ . \\ . \\ .} [/mm] mit s,t [mm] \in \IR [/mm] lösen das System.
(Die Lösungsmenge ist geometrisch eine Ebene durch den Punkt [mm] x_b.)
[/mm]
Gruß v. Angela
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hallo Angela,
hab das jetzt alles prima verstnaden!!!Vielen Dank!
Nur noch eine kurze kleine Frage: Bekäme ich denn die Lösung nicht auch, indem ich direkt die Matrix = [mm] \vektor{b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4} [/mm] setze und dann genauso umforme, ohne dass ich vorher die Lösung des homogenen GS bestimme??? Viele Liebe Grüße mathedepp
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> Nur noch eine kurze kleine Frage: Bekäme ich denn die
> Lösung nicht auch, indem ich direkt die Matrix =
> [mm]\vektor{b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4}[/mm] setze und dann genauso
> umforme, ohne dass ich vorher die Lösung des homogenen GS
> bestimme???
Klar,
normalerweise macht man das in einem Abwasch, also ausgehend von der erweiterten Koeffizientenmatrix, d.h. mit b auf der rechten Seite.
Probier es aus, und schau, ob dasselbe herauskommt. Wobei - dasselbe kann in verschiedener Gestalt erscheinen.
Wir hatten eben [mm] x_b+sv_1+tv_2.
[/mm]
Wenn Du x'_b+sv'_1+tv'_2 herausbekommst, muß das nicht falsch sein, denn ein und dieselbe Ebene kann man verschieden beschreiben.
Wichtig ist jedenfalls, daß Du Dir merkst, daß der "angeheftete" Vektorraum das homogene System löst und wie die Lösung des homogenen mit der des inhomogenen zusammenhängt, manchmal braucht man das.
Gruß v. Angela
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Ja habs ausprobiert, komme auf die gleiche Lösungsmenge!!!Vielen Dank für deine Ausführliche Hilfe! grüße der mathedepp_No.1
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