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| Aufgabe | Bestimme die Anzahl der Lösungen x [mm] \in \IR [/mm] der Gleichung
[mm] 2^x [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + 1 |
Hallo, wie könnte ich hier vorgehen um die Lösungen zu finden.
[mm] x_1 [/mm] = 1 kann man ja noch erraten, aber wie gehts weiter?
Gruß helicopter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Mo 02.07.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
wenn ich die Aufgabe richtig interpretiere, so ist wirklich nur nach der Anzahl der Lösungen - nicht jedoch nach der expliziten Angabe von Lösungen - gefragt. Wobei 2 Lösungen fallen einem sofort ins Auge ;)
Also wissen wir schon mal, es sind mindestens 2 Lösungen.
Setze [mm] $f(x)=2^x-x^2-1$.
[/mm]
Betrachte 1. und 2. Ableitung von f und argumentiere mit dem Satz von Rolle!
Gruß
barsch
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Den Tip hat uns auch der Tutor gegeben, ich verstehe jedoch nicht wie mir der Satz von Rolle hier helfen kann.
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> Den Tip hat uns auch der Tutor gegeben, ich verstehe jedoch
> nicht wie mir der Satz von Rolle hier helfen kann.
Hallo,
wir müssen wissen, was Du bisher getan und überlegt hast.
aAm besten machst Du doch einfach erstmal, was barsch Dir gesagt hat, also die Ableitungen bilden, und vielleicht auch mal den Satz von Rolle hinschreiben.
Du könntest auch mal sagen, welches die beiden Lösungen sind, die man sofort sieht.
LG Angela
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Hallo,
die beiden Lösungen die man sieht sind [mm] x_0 [/mm] = 0 , [mm] x_1 [/mm] = 1
Ableitungen kriege ich anscheinend nur die erste hin, komme auf
[mm] x^\prime [/mm] = ln(2) * [mm] 2^x [/mm] - 2x
bei der zweiten auf [mm] x^{\prime\prime} [/mm] = [mm] 2^x( \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] ln(2)^2) [/mm] -2
ist aber wohl falsch, finde meinen Fehler nicht.
Zu der Aufgabe habe ich mir überlegt nach der 2. Nullstelle Zwei Punkte a < 0 und b > 0 zu finden und mit dem Zwischenwertsatz zu behaupten das dazwischen noch eine Nullstelle liegt, das heißt aber nicht das nicht noch weitere kommen werden, also sogesehen unsinn.
Der Satz von Rolle: (Wikipedia)
sagt aus, dass eine Funktion f, die im abgeschlossenen Intervall [a,b] stetig und im offenen Intervall (a,b) differenzierbar ist und außerdem f(a) = f(b) erfüllt, an mindestens einer Stelle [mm] x_0 [/mm] aus (a,b) die Ableitung Null hat: f [mm] '\left(x_0\right) [/mm] = 0.
Nur sehe ich leider nicht wie er mir hilft.
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Hallo,
wir betrachten [mm] f(x)=2^x-x^2-1.
[/mm]
> die beiden Lösungen die man sieht sind [mm]x_0[/mm] = 0 , [mm]x_1[/mm] = 1
>
> Ableitungen kriege ich anscheinend nur die erste hin, komme
> auf
> [mm]f'(x)[/mm] = ln(2) * [mm]2^x[/mm] - 2x
>
> bei der zweiten auf [mm]x^{\prime\prime}[/mm] = [mm]2^x( \bruch{1}{2}[/mm] +
> [mm]ln(2)^2)[/mm] -2
> ist aber wohl falsch, finde meinen Fehler nicht.
Ich weiß grad nicht, warum Du die falsch machst, wo Du doch die erste konntest.
Dir ist klar, daß ln(2) eine Konstante ist?
Richtig wäre [mm] f''(x)=(ln(2))^2*2^x-2.
[/mm]
>
>
> Zu der Aufgabe habe ich mir überlegt nach der 2.
> Nullstelle Zwei Punkte a < 0 und b > 0 zu finden und mit
> dem Zwischenwertsatz zu behaupten das dazwischen noch eine
> Nullstelle liegt, das heißt aber nicht das nicht noch
> weitere kommen werden, also sogesehen unsinn.
Hm, die Idee finde ich gar nicht schlecht!
Dann hättest Du nämlich schonmal eine dritte Nullstelle gesichert.
(Die gibt es.)
> Der Satz von Rolle: (Wikipedia)
> sagt aus, dass eine Funktion f, die im abgeschlossenen
> Intervall [a,b] stetig und im offenen Intervall (a,b)
> differenzierbar ist und außerdem f(a) = f(b) erfüllt, an
> mindestens einer Stelle [mm]x_0[/mm] aus (a,b) die Ableitung Null
> hat: f [mm]'\left(x_0\right)[/mm] = 0.
>
> Nur sehe ich leider nicht wie er mir hilft.
Du könntest jetzt annehmen, daß es eine weitere Nullstelle gibt, also mindestens 4.
Was bedeutet das für die erste Ableitung?
Und jetzt weiter...
LG Angela
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Autsch, jetzt sehe ich den Fehler beim ableiten, hab ln2 nicht als Konstante behandelt und mit Produktregel abgeleitet.
Wenn ich das mit dem Satz richtig verstanden habe, dann könnte ich 2 Nullstellen als f(a) und f(b) betrachten und dazwischen müsste die Ableitung irgendwo Null sein?
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> Wenn ich das mit dem Satz richtig verstanden habe, dann
> könnte ich 2 Nullstellen als f(a) und f(b) betrachten und
> dazwischen müsste die Ableitung irgendwo Null sein?
Hallo,
ich kann hierauf schlecht antworten, weil eigentlich unverständlich ist, was Du hier sagst, vermute aber, daß Du das Richtige meinst.
Mach mal nicht so'n Stückwerk, sondern zieh Deine Argumentation richtig hieb- und stichfest von Anfang an auf:
Offensichtlich gibt es Nullstellen bei [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=1.
[/mm]
Wegen ... gibt es eine weitere Nullstelle im Intervall ...
Angenommen, es gäbe eine weitere Nullstelle.
Und nun müßte Deine Argumentation kommen - verständlich formuliert und unter Berufung auf den Satz von Rolle und das, was wir sonst so wissen.
Denk ruhig mal länger als 5 Minuten nach und versuch, das auszuklamüsern. Ich glaub', Du bekommst es hin...
LG Angela
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Ja angenommen es gäbe eine weitere Nullstelle, dann würde nach dem Satz von Rolle folgen, das die Ableitung der Funktion zwischen den beiden Nullstellen auch eine Nullstelle haben müsste, das muss ich zum Widerspruch bringen. Wo brauche ich die 2. Ableitung ? Die benötigt man eigentlich nur wenn man das Minimum/Maximum sucht oder?
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> Ja angenommen es gäbe eine weitere Nullstelle, dann würde
> nach dem Satz von Rolle folgen, das die Ableitung der
> Funktion zwischen den beiden Nullstellen auch eine
> Nullstelle haben müsste,
Hallo,
von welchen "beiden" Nullstellen redest Du gerade?
Wir gehen doch gerade davon aus, daß f vier Nullstellen hat.
Arbeite gründlich.
Wenn f vier Nullstellen hat, was wissen wir dann über f'?
> das muss ich zum Widerspruch
> bringen.
Ja.
> Wo brauche ich die 2. Ableitung ?
Für den Widerspruch.
Satz v. Rolle.
Ich fänd's echt gut, wenn Du etwas länger und konsequenter nachdenken würdest.
LG Angela
> Die benötigt
> man eigentlich nur wenn man das Minimum/Maximum sucht oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 Mo 02.07.2012 | | Autor: | helicopter |
Ich habe es glaube ich verstanden,
wenn die Funktion 4 Nullstellen hätte, dann hätte die Ableitung 3 Nullstellen
nach Satz von Rolle, diesen noch einmal angewandt würde ergeben das die 2.Ableitungen 2 Nullstellen hat, Sie hat aber nur eine ==> Widerspruch
Richtig?
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> Ich habe es glaube ich verstanden,
>
> wenn die Funktion 4 Nullstellen hätte, dann hätte die
> Ableitung 3 Nullstellen
> nach Satz von Rolle, diesen noch einmal angewandt würde
> ergeben das die 2.Ableitungen 2 Nullstellen hat, Sie hat
> aber nur eine ==> Widerspruch
>
> Richtig?
Richtig!
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 Mo 02.07.2012 | | Autor: | helicopter |
Gut dann schau ich zu dass ich das Ganze ordentlich aufschreibe.
Vielen Dank!!
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