Lösungsmenge einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Mi 14.11.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | Sei a [mm] \in \IR [/mm] und seien [mm] A_{a} [/mm] und [mm] A_{a}' [/mm] die folgenden 3 x 3 Matrizen:
[mm] A_{a}= \pmat{ a+1 & 1 & a^{2}-1 \\ a & a & 2a \\ a^{2}+a-1 & 2a-1 & a^{3}-a^{2}+a+1 }
[/mm]
[mm] A_{a}'=\pmat{ a+1 & 1 & a^{2}-1 \\ 0 & a^{2} & -a^{3}+2a^{2}+3a \\ 0 & 0 & 0 }.
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge [mm] L(A(a),\vec{0}).
[/mm]
b) Warum unterscheiden sich die Lösungesmengen [mm] L(A(a),\vec{0}) [/mm] und [mm] L(A'(a),\vec{0}) [/mm] genau dann, wenn a = -1? |
Also Teilaufgabe a) habe ich bereits gelöst und sitze gerad ratlos vor Teilaufgabe b). Das besondere an der Teilaufgabe a) ist, dass ich durch Umformung von [mm] A_{a} [/mm] dann die erweiterte Koeffizientenmatrix [mm] A_{a}' [/mm] erhalten habe. Im Zuge des Umformungsprozesses musste ich [mm] a\not=0 [/mm] und a [mm] \not=-1 [/mm] setzen, da ich eine Zeile mit [mm] \bruch{1}{a+1} [/mm] oder a im Nenner multipliziert habe. Diese beiden Fälle habe ich separat betrachtet, nachdem ich für den allgemeinen Fall die Lösungsmenge berechnet habe.
Die Lösungsmenge für den allgemeinen Fall lautet unter der Voraussetzung, dass [mm] x_{3}=\lambda [/mm] sei:
[mm] L(A_{a},\vec{0}) =\{\lambda \pmat{ \bruch{-a_{2}-a+\bruch{3}{a}+3}{a+1} \\ a-2-\bruch{3}{a} \\ 1} | (x_{1},x_{2},x_{3}) \in \IR_{3}\}.
[/mm]
Für [mm] (A_{-1},\vec{0}) [/mm] erhalte ich unendlich viele Lösungen in Abhängigkeit von [mm] x_{3}:
[/mm]
[mm] L(A_{-1},\vec{0}) [/mm] = [mm] \{\pmat{ -2x_{3}\\ 0 \\ x_{3}} | (x_{1},x_{2}, x_{3}) \in \IR_{3}\}
[/mm]
Für [mm] L(A_{-1}',\vec{0}) [/mm] erhalte ich für [mm] x_{1}, x_{2}, x_{3} [/mm] 0 als Lösung.
Hat irgendwelche Ansätze oder Vorschläge wie ich die Frage in b) beantworten kann?
Mir fällt leider keine zufriedenstellende Antwort ein.
mfg,
zjay
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Mi 14.11.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
berechne den Rang der Matrizen [mm] A_a [/mm] und [mm] A_a' [/mm] für [mm] a\not\in\{-1,0\} [/mm] und für a=-1 bzw. a=0
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:34 Mi 14.11.2012 | | Autor: | zjay |
leider noch nicht gehabt. von daher muss ich wohl ohne den rang argumentieren, selbst wenn ich es gerne getan hätte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 16.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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