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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Lösungsmenge einer Matrix
Lösungsmenge einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lösungsmenge einer Matrix: Frage zu einer Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:07 Mi 14.11.2012
Autor: zjay

Aufgabe
Sei a [mm] \in \IR [/mm] und seien [mm] A_{a} [/mm] und [mm] A_{a}' [/mm] die folgenden 3 x 3 Matrizen:

[mm] A_{a}= \pmat{ a+1 & 1 & a^{2}-1 \\ a & a & 2a \\ a^{2}+a-1 & 2a-1 & a^{3}-a^{2}+a+1 } [/mm]

[mm] A_{a}'=\pmat{ a+1 & 1 & a^{2}-1 \\ 0 & a^{2} & -a^{3}+2a^{2}+3a \\ 0 & 0 & 0 }. [/mm]

a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge [mm] L(A(a),\vec{0}). [/mm]

b) Warum unterscheiden sich die Lösungesmengen [mm] L(A(a),\vec{0}) [/mm] und [mm] L(A'(a),\vec{0}) [/mm] genau dann, wenn a = -1?




Also Teilaufgabe a) habe ich bereits gelöst und sitze gerad ratlos vor Teilaufgabe b). Das besondere an der Teilaufgabe a) ist, dass ich durch Umformung von [mm] A_{a} [/mm] dann die erweiterte Koeffizientenmatrix [mm] A_{a}' [/mm] erhalten habe. Im Zuge des Umformungsprozesses musste ich [mm] a\not=0 [/mm] und a [mm] \not=-1 [/mm] setzen, da ich eine Zeile mit [mm] \bruch{1}{a+1} [/mm] oder a im Nenner multipliziert habe. Diese beiden Fälle habe ich separat betrachtet, nachdem ich für den allgemeinen Fall die Lösungsmenge berechnet habe.

Die Lösungsmenge für den allgemeinen Fall lautet unter der Voraussetzung, dass [mm] x_{3}=\lambda [/mm] sei:

[mm] L(A_{a},\vec{0}) =\{\lambda \pmat{ \bruch{-a_{2}-a+\bruch{3}{a}+3}{a+1} \\ a-2-\bruch{3}{a} \\ 1} | (x_{1},x_{2},x_{3}) \in \IR_{3}\}. [/mm]

Für [mm] (A_{-1},\vec{0}) [/mm] erhalte ich unendlich viele Lösungen in Abhängigkeit von [mm] x_{3}: [/mm]

[mm] L(A_{-1},\vec{0}) [/mm] = [mm] \{\pmat{ -2x_{3}\\ 0 \\ x_{3}} | (x_{1},x_{2}, x_{3}) \in \IR_{3}\} [/mm]

Für [mm] L(A_{-1}',\vec{0}) [/mm] erhalte ich für [mm] x_{1}, x_{2}, x_{3} [/mm] 0 als Lösung.

Hat irgendwelche Ansätze oder Vorschläge wie ich die Frage in b)  beantworten kann?

Mir fällt leider keine zufriedenstellende Antwort ein.

mfg,

zjay



        
Bezug
Lösungsmenge einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:23 Mi 14.11.2012
Autor: ullim

Hi,

berechne den Rang der Matrizen [mm] A_a [/mm] und [mm] A_a' [/mm] für [mm] a\not\in\{-1,0\} [/mm] und für a=-1 bzw. a=0

Bezug
                
Bezug
Lösungsmenge einer Matrix: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:34 Mi 14.11.2012
Autor: zjay

leider noch nicht gehabt. von daher muss ich wohl ohne den rang argumentieren, selbst wenn ich es gerne getan hätte

Bezug
                        
Bezug
Lösungsmenge einer Matrix: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Fr 16.11.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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