Lösungsmenge eines inhom. GLS < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit von [mm] \lambda \in \IR. [/mm] Führen Sie notwendige Fallunterscheidungen durch!
[mm] 2\cdot{}x [/mm] + [mm] \lambda*y [/mm] + z = 5
[mm] 2\cdot{}x [/mm] + y + [mm] \lambda*z [/mm] = 0
x - [mm] 3\cdot{}y [/mm] + [mm] 2\cdot{}z [/mm] = 2 |
Hallo zusammen,
meine vermutlich letzte Frage vor der Klausur morgen:
Ich habe die oben genannte Aufgabe in der Vortermin-Klausur gefunden und mir überlegt, wie ich das GLS löse.
Ist es im Prinzip einfach so, dass ich via Gauß versuche, das GLS zu lösen?
Und was ist die notwendige Fallunterscheidung?
Meine anfängliche Matrix sah so aus:
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & \lambda & 0 \\ 2 & \lambda & 1 & 5 }
[/mm]
Wenn ich diese nun umforme, erhalte ich in der letzten Zeile folgende Gleichung:
[mm] \lambda^{2} [/mm] + [mm] 2\*\lambda [/mm] - 45 = -17 - [mm] 4\*\lambda
[/mm]
Welche Fälle muss ich unterscheiden, was muss beachtet werden? Ist mein grundsätzliches Vorgehen richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo newkrider,
könntest du bitte mal den Rechenweg bis zu der [mm] \lambda [/mm] - Gleichung posten, ich habe etwas anderes raus. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Aber davon unabhängig musst du grundsätzlich prüfen, ob du für irgendwelche [mm] \lambda [/mm] Gleichungen folgender Art erhalten kannst (für die letzte Zeile):
(1) 0=0 [mm] \Rightarrow [/mm] das LGS hat unendlich viele Lösungen
(2) 0="irgendwas [mm] \ne [/mm] 0" [mm] \Rightarrow [/mm] das LGS hat keine Lösung
(3) eine eindeutige (natürlich von [mm] \lambda [/mm] abhängende Lösung) für [mm] x_3 [/mm] in der letzten Zeile, also irgendwas in der Art [mm] x_3=\bruch{3\lambda}{4} [/mm] oder so [mm] \Rightarrow [/mm] das LGS ist eindeutig lösbar
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Di 27.03.2007 | | Autor: | newkrider |
Erster Schritt:
(Zeile 1*2 - Zeile 2)
(Zeile 1*2 - Zeile 3)
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 4-\lambda & 4 \\ 0 & -6-\lambda & 3 & -1 }
[/mm]
Zweiter Schritt:
(Zeile 2 * [mm] -\lambda-6 [/mm] - Zeile 3 * 7)
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 4-\lambda & 4 \\ 0 & 0 & \lambda^{2}+2*\lambda-45 & -17-4\lambda }
[/mm]
Ich habe mich vermutlich (mal wieder...) verrechnet.
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> Erster Schritt:
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> (Zeile 1*2 - Zeile 2)
> (Zeile 1*2 - Zeile 3)
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> [mm]\pmat{ 1 & -3 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 4-\lambda & 4 \\ 0 & -6-\lambda & 3 & -1 }[/mm]
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> Zweiter Schritt:
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> (Zeile 2 * [mm]-\lambda-6[/mm] - Zeile 3 * 7)
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> [mm]\pmat{ 1 & -3 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 4-\lambda & 4 \\ 0 & 0 & \lambda^{2}+2*\lambda-45 & -17-4\lambda }[/mm]
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> Ich habe mich vermutlich (mal wieder...) verrechnet.
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>
Ich krieg's auch nicht gepeilt, aber ich glaube bei der letzten Umformung musst du [mm] \bold{addieren}
[/mm]
Dann erhältst du in der letzten Zeile der Matrix:
[mm] (\lambda^2+2\lambda-3)\cdot{}x_3=-4\lambda-31
[/mm]
Da dann die FU ansetzen
Gruß
schachuzipus
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