Lösungsmenge kompl. Gleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:54 Do 13.11.2014 | | Autor: | lisa2802 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie vier Lösungen der Gleichung
[mm] x^{2} [/mm] + [mm] \overline{z} [/mm] -2z + [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}(\wurzel{3}+i) [/mm] = [mm] \wurzel{1+i\wurzel{3}} [/mm] |
betrachtet man nun zuerst nur die rechte seite, also [mm] \wurzel{1+i\wurzel{3}}, [/mm] und schreibt es in Polarkoordinaten um, dann
ist w = [mm] \wurzel{1+i\wurzel{3}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] ( [mm] \wurzel{3} [/mm] + i)
soweit sogut
insgesamt :
[mm] x^{2} [/mm] + [mm] \overline{z} [/mm] -2z + [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}(\wurzel{3}+i) [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] ( [mm] \wurzel{3} [/mm] + i)
Nun würde ich das ganze eigentlich einfach weiter auflösen also
[mm] x^{2} [/mm] + [mm] \overline{z} [/mm] -2z = 0.
Nun habe ich hier aber eine Lösung, in der dann nicht damit weiter gerechnet wird sondern gesgat wird, dass man nun folgende Gleichung zu lösen hat.
[mm] z^{2} [/mm] + [mm] 3\overline{z} [/mm] - 2z = 0
Wie kommt man da drauf??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:06 Fr 14.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
> Bestimmen Sie vier Lösungen der Gleichung
>
> [mm]x^{2}[/mm] + [mm]\overline{z}[/mm] -2z +
> [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}(\wurzel{3}+i)[/mm] =
> [mm]\wurzel{1+i\wurzel{3}}[/mm]
> betrachtet man nun zuerst nur die rechte seite, also
> [mm]\wurzel{1+i\wurzel{3}},[/mm] und schreibt es in Polarkoordinaten
> um, dann
>
> ist w = [mm]\wurzel{1+i\wurzel{3}}[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] ( [mm]\wurzel{3}[/mm] + i)
>
> soweit sogut
ich war zu faul zum selber rechnen, aber dass die rechte Seite jedenfalls
passt, sieht man ja, wenn man sie quadriert!
Das "Witzige" an der Geschichte ist aber: Ist [mm] $w\,$ [/mm] die Quadratwurzel einer
komplexen Zahl [mm] $z\,$, [/mm] so sind alle Quadratwurzeln durch
[mm] $\pm [/mm] w$
gegeben: [mm] $(\pm w)^2=z\,.$
[/mm]
Oben also: Es ist auch
[mm] $\wurzel{1+i\wurzel{3}}=\,-\,\bruch{\wurzel{2}}{2}(\wurzel{3}+ [/mm] i)$
wahr (das ist ein wenig anders als im reellen).
>
> insgesamt :
>
> [mm]x^{2}[/mm] + [mm]\overline{z}[/mm] -2z + [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}(\wurzel{3}+i)[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] ( [mm]\wurzel{3}[/mm] + i)
>
> Nun würde ich das ganze eigentlich einfach weiter
> auflösen also
> [mm]x^{2}[/mm] + [mm]\overline{z}[/mm] -2z = 0.
>
>
> Nun habe ich hier aber eine Lösung, in der dann nicht
> damit weiter gerechnet wird sondern gesgat wird, dass man
> nun folgende Gleichung zu lösen hat.
>
> [mm]z^{2}[/mm] + [mm]3\overline{z}[/mm] - 2z = 0
>
> Wie kommt man da drauf??
Das sehe ich so auch nicht. Rechne einfach mal beide Fälle weiter, vielleicht
kommst Du ja in dem von mir ergänzten Fall drauf.
Nebenbei: Am besten auch mal Zwischenschritte kontrollieren lassen:
![[]](/images/popup.gif) http://www.wolframalpha.com/
P.S. Falls [mm] $x=\text{Re}(z)\,,$ [/mm] so kannst Du [mm] $x=(z+\overline{z})/2$ [/mm] ersetzen (vielleicht
muss man bei Deiner Rechnung auch sonst gar nichts mehr tun - wie gesagt:
Ich bin gerade zu faul zum Selberrechnen, aber das bekommst Du eh hin!)
Gruß,
Marcel
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Danke, für die Antwort :)
> Das "Witzige" an der Geschichte ist aber: Ist [mm]w\,[/mm] die
> Quadratwurzel einer
> komplexen Zahl [mm]z\,[/mm], so sind alle Quadratwurzeln durch
>
> [mm]\pm w[/mm]
>
> gegeben: [mm](\pm w)^2=z\,.[/mm]
>
> Oben also: Es ist auch
>
> [mm]\wurzel{1+i\wurzel{3}}=\,-\,\bruch{\wurzel{2}}{2}(\wurzel{3}+ i)[/mm]
also ich setze z = [mm] \wurzel{1+i\wurzel{3}} [/mm] und w = [mm] z^{2} [/mm]
bestimme dann |w| und das argument von w.
Dann hab ich w = 2 * [mm] e^{i*60} [/mm] = 2 * [mm] e^{i*\bruch{\pi}{3}} [/mm]
=> z = (2 * [mm] e^{i*\bruch{\pi}{3}} )^\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \sqrt2 [/mm] * [mm] e^{i*\bruch{1}{2}\bruch{\pi}{3}} [/mm] = [mm] \sqrt2 [/mm] * [mm] e^{i*\bruch{\pi}{6}}
[/mm]
oder z = [mm] \pm \sqrt2 [/mm] * [mm] e^{i*\bruch{\pi}{6}} [/mm] ?
Meiner Meinung nach ziehe ich die Wurzel ja gar nicht sondern schreibe die nur um und habe somit nur z = + [mm] \sqrt2 [/mm] * [mm] e^{i*\bruch{\pi}{6}} [/mm] = [mm] \sqrt2 [/mm] * ( [mm] cos(\bruch{\pi}{6}) [/mm] + i* [mm] sin(\bruch{\pi}{6})) [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}(\wurzel{3}+ [/mm] i)
>
> wahr (das ist ein wenig anders als im reellen).
>
> >
> > insgesamt :
> > Nun würde ich das ganze eigentlich einfach weiter
> > auflösen also
> > [mm]x^{2}[/mm] + [mm]\overline{z}[/mm] -2z = 0.
> >
> >
> > Nun habe ich hier aber eine Lösung, in der dann nicht
> > damit weiter gerechnet wird sondern gesgat wird, dass man
> > nun folgende Gleichung zu lösen hat.
> >
> > [mm]z^{2}[/mm] + [mm]3\overline{z}[/mm] - 2z = 0
> >
> > Wie kommt man da drauf??
>
> Das sehe ich so auch nicht. Rechne einfach mal beide Fälle
> weiter, vielleicht
> kommst Du ja in dem von mir ergänzten Fall drauf.
so rechne ich weiter mit z= [mm] +\bruch{\wurzel{2}}{2}(\wurzel{3}+ [/mm] i)
erhalte ich ja aus
>
[mm]z^{2}[/mm] + [mm]3\overline{z}[/mm] - 2z = 0 [mm] \gdw
[/mm]
[mm] \gdw x^2-x- [/mm] 2iy = 0
nun könnte ich z.b. real und imaginärteil vergleichen und ein "LGS" aufstellen
[mm] x^2-x [/mm] = 0
-3iy = 0
aus 2 folgt y=0
aus eins folgt x =0 v x=1
also entweder y=0 und x=0 oder y=0 und x=1 oder? was nicht die Lösungen sind( es sind nämlich mit (x,y) : (0,0),(0,-1), [mm] (\bruch{5}{2}, \pm \bruch{\wurzel{35}}{2})
[/mm]
Problem:
[mm]z^{2}[/mm] + [mm]3\overline{z}[/mm] - 2z [mm] \not=[/mm] [mm]x^{2}[/mm] + [mm]\overline{z}[/mm] -2z
aber da müsste ja gleichheit gelten.
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> also entweder y=0 und x=0 oder y=0 und x=1 oder? was nicht
> die Lösungen sind( es sind nämlich mit (x,y) :
> (0,0),(0,-1), [mm]\left(\,\bruch{5}{2}\ ,\ \pm \bruch{5*\wurzel3}{2}\,\right)[/mm]
Hallo Lisa,
da offenbar von Anfang an nicht wirklich klar war,
was mit dem ominösen x in der gegebenen Gleichung
$ [mm] x^{2} [/mm] \ +\ [mm] \overline{z} [/mm] \ [mm] -2\,z\ [/mm] +\ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}(\wurzel{3}+i)\ [/mm] =\ [mm] \wurzel{1+i\wurzel{3}} [/mm] $
gemeint war, könnte man nun natürlich ausgehend
von den vorliegenden 4 Lösungen nachrechnen,
ob diese auch wirklich passen, wenn man von einer der
Varianten (a) oder (b) ausgeht:
(a) x = z = Re(z)+i*Im(z)
(b) x = Re(z)
Ich habe auch noch versucht, quasi "das Pferd vom
Schwanz her aufzuzäumen": Die 4 Lösungen, die du
angibst, kann man in eine einzige Gleichung 4.Grades
für z verpacken, nämlich:
$\ [mm] (z^2-i*z)*(z^2-5*z+25)\ [/mm] =\ 0$
Nun könnte man versuchen, von dieser Gleichung
aus den Umformungsweg zurück zu der Gleichung der
Aufgabenstellung zu rekonstruieren. Dabei wird dann
vielleicht auch klar, ob irgendwo ein kleiner Fehler
die Verwirrung verursacht haben könnte.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Do 20.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Bestimmen Sie vier Lösungen der Gleichung
>
> [mm]x^{2}\ + \ \overline{z}\, -2z\ +\ \bruch{\wurzel{2}}{2}(\wurzel{3}+i)\ = \ \wurzel{1+i\wurzel{3}}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Na Moment mal !
bevor ich da überhaupt irgendwas zu rechnen beginnen
würde:
1.) Es ist zu vermuten, dass z für eine komplexe Zahl
stehen soll (und [mm]\overline{z}[/mm] für die dazu konjugierte
komplexe Zahl)
2.) Aber was soll x bedeuten ??
Ich sehe 2 Möglichkeiten:
a) du hast dich verschrieben, und anstatt [mm] x^2 [/mm] sollte da [mm] z^2
[/mm]
stehen
b) mit x soll der Realteil von z gemeint sein (?)
Falls ja, hättest du dies unbedingt mitteilen müssen
(Wir beschäftigen uns nicht so sehr gerne mit unklar
gestellten Aufgaben ...)
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:46 Di 18.11.2014 | | Autor: | lisa2802 |
> > Bestimmen Sie vier Lösungen der Gleichung
> >
> > [mm]x^{2}\ + \ \overline{z}\, -2z\ +\ \bruch{\wurzel{2}}{2}(\wurzel{3}+i)\ = \ \wurzel{1+i\wurzel{3}}[/mm]
>
>
>
> Na Moment mal !
>
> bevor ich da überhaupt irgendwas zu rechnen beginnen
> würde:
>
> 1.) Es ist zu vermuten, dass z für eine komplexe Zahl
> stehen soll (und [mm]\overline{z}[/mm] für die dazu konjugierte
> komplexe Zahl)
ist zu vermuten, wenn es sich um komplexe Gleichungen dreht.
>
> 2.) Aber was soll x bedeuten ??
>
> Ich sehe 2 Möglichkeiten:
>
> a) du hast dich verschrieben, und anstatt [mm]x^2[/mm] sollte da
> [mm]z^2[/mm]
> stehen
Na das wäre schön, ist aber nicht so.
>
> b) mit x soll der Realteil von z gemeint sein (?)
> Falls ja, hättest du dies unbedingt mitteilen müssen
Hätte ich natürlich getan, wenn es explizit in der Aufgabe gestanden hätte. So ist es aber nicht. Es ist allerdings zu vermuten.
>
> (Wir beschäftigen uns nicht so sehr gerne mit unklar
> gestellten Aufgaben ...)
>
> LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:41 Di 18.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie vier Lösungen der Gleichung
>
> [mm]x^{2}[/mm] + [mm]\overline{z}[/mm] -2z +
> [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}(\wurzel{3}+i)[/mm] =
> [mm]\wurzel{1+i\wurzel{3}}[/mm]
> betrachtet man nun zuerst nur die rechte seite, also
> [mm]\wurzel{1+i\wurzel{3}},[/mm] und schreibt es in Polarkoordinaten
> um, dann
>
> ist w = [mm]\wurzel{1+i\wurzel{3}}[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] (
> [mm]\wurzel{3}[/mm] + i)
>
> soweit sogut
>
>
> insgesamt :
>
> [mm]x^{2}[/mm] + [mm]\overline{z}[/mm] -2z +
> [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}(\wurzel{3}+i)[/mm] =
> [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] ( [mm]\wurzel{3}[/mm] + i)
>
>
> Nun würde ich das ganze eigentlich einfach weiter
> auflösen also
> [mm]x^{2}[/mm] + [mm]\overline{z}[/mm] -2z = 0.
>
>
> Nun habe ich hier aber eine Lösung, in der dann nicht
> damit weiter gerechnet wird sondern gesgat wird, dass man
> nun folgende Gleichung zu lösen hat.
>
> [mm]z^{2}[/mm] + [mm]3\overline{z}[/mm] - 2z = 0
>
> Wie kommt man da drauf??
Gehen wir mal davon aus, dass mit x der Realteil von z gemeint ist.
Wir müssen zwei Fälle unterscheiden:
1. $ [mm] \wurzel{1+i\wurzel{3}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] $ ( $ [mm] \wurzel{3} [/mm] $ + i)
und
2. $ [mm] \wurzel{1+i\wurzel{3}} [/mm] $ = -$ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] $ ( $ [mm] \wurzel{3} [/mm] $ + i) .
Sei z=x+iy (x,y [mm] \in \IR)
[/mm]
Im ersten Fall lautet die Gleichung
[mm] x^2-x-3iy=0.
[/mm]
Diese hat die Lösungen z=0 und z=1.
Im zweiten Fall lautet die Gleichung
[mm] x^2-x-3iy= -\wurzel{6}-i*\wurzel{2}.
[/mm]
Schaut man sich die Realteile an, so müsste gelten
[mm] x^2-x+\wurzel{6}=0
[/mm]
Diese Gleichung hat aber keine Lösung in [mm] \IR [/mm] !
FRED
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