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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | Bestimme den Raum der Lösungen des folgenden Systems vin linearen Differentialgleichungen:
[mm] \bruch{dx_1}{dt}=x_2+x_3+x_4
[/mm]
[mm] \bruch{dx_2}{dt}=x_3+x_4
[/mm]
[mm] \bruch{dx_3}{dt}=x_4
[/mm]
[mm] \bruch{dx_4}{dt}=0 [/mm] |
Hallo Freunde der Mathematik,
zunächst habe ich mir das System in Matrizenform geschrieben:
[mm] \pmat{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}'=\pmat{ 0 & 1 & 1& 1\\0 & 0& 1& 1\\0 & 0 & 0& 1\\0 & 0 & 0& 0}\pmat{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}
[/mm]
Nun wollte ich die 4x4-Matrix diagonalisiern um das System zu lösen. Diese Matrix ist aber nicht Diagonalisierbar, da sie nur einen (geometrischen) Eigenwert (0) besitzt.
Also habe ich mich an die Exponentialabbildung erinnert. Diese ist leicht für Matrizen welche nur 1 auf der Diagonalen haben, sonst nichts.
Bei Wikipedia habe ich aber erfahren, dass man jede Matrix eindeutig zerlegen kann:
Eine beliebige Matrix ''X'' kann eindeutig in eine Summe
X = A + N
zerlegt werden, wobei
A diagonalisierbar ist
N nilpotent ist
A mit N kommutiert (d.h. AN = NA)
Dies will mir aber auch nicht gelingen, da ich ja dann ein "A" brauche welches diagonalisierbar ist, ich aber aus der 4x4-Matrix oben nur Matrizen rausziehen kann, deren Diagonale voller nullen ist.
Gruß,
Rutzel
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Hallo Rutzel,
> Bestimme den Raum der Lösungen des folgenden Systems vin
> linearen Differentialgleichungen:
>
> [mm]\bruch{dx_1}{dt}=x_2+x_3+x_4[/mm]
> [mm]\bruch{dx_2}{dt}=x_3+x_4[/mm]
> [mm]\bruch{dx_3}{dt}=x_4[/mm]
> [mm]\bruch{dx_4}{dt}=0[/mm]
> Hallo Freunde der Mathematik,
>
> zunächst habe ich mir das System in Matrizenform
> geschrieben:
>
> [mm]\pmat{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}'=\pmat{ 0 & 1 & 1& 1\\0 & 0& 1& 1\\0 & 0 & 0& 1\\0 & 0 & 0& 0}\pmat{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}[/mm]
>
> Nun wollte ich die 4x4-Matrix diagonalisiern um das System
> zu lösen. Diese Matrix ist aber nicht Diagonalisierbar, da
> sie nur einen (geometrischen) Eigenwert (0) besitzt.
>
> Also habe ich mich an die Exponentialabbildung erinnert.
> Diese ist leicht für Matrizen welche nur 1 auf der
> Diagonalen haben, sonst nichts.
>
> Bei Wikipedia habe ich aber erfahren, dass man jede Matrix
> eindeutig zerlegen kann:
>
>
> Eine beliebige Matrix ''X'' kann eindeutig in eine Summe
> X = A + N
> zerlegt werden, wobei
> A diagonalisierbar ist
> N nilpotent ist
> A mit N kommutiert (d.h. AN = NA)
>
> Dies will mir aber auch nicht gelingen, da ich ja dann ein
> "A" brauche welches diagonalisierbar ist, ich aber aus der
> 4x4-Matrix oben nur Matrizen rausziehen kann, deren
> Diagonale voller nullen ist.
Löse doch einfach das System so, wie es da steht:
[mm]\bruch{dx_4}{dt}=0 \Rightarrow x_{4}\left(t\right)= \ \dots[/mm]
[mm]\bruch{dx_3}{dt}=x_4 \Rightarrow x_{3}\left(t\right)= \ \dots[/mm]
[mm]\bruch{dx_2}{dt}=x_3+x_4 \Rightarrow x_{2}\left(t\right)= \ \dots[/mm]
[mm]\bruch{dx_1}{dt}=x_2+x_3+x_4 \Rightarrow x_{1}\left(t\right)= \ \dots[/mm]
>
> Gruß,
> Rutzel
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hi Mathepower,
hoffen wir, dass ich es heute schneller verstehe, als beim letzten mal;)
sei c konstant.
[mm] x_4=c
[/mm]
[mm] x_3=cx
[/mm]
[mm] x_2=\bruch{1}{2}cx^2+cx
[/mm]
[mm] x_1=\bruch{1}{6}cx^3+cx^2+cx
[/mm]
So wäre es auf deine Methode gelöst. Ich denke aber, man soll hier ein Fundamentalsystem der Form [mm] \{e^{\lambda_1}v_1,...,e^{\lambda_n}v_n \} [/mm] finden.
(mit [mm] \lambda_i [/mm] Eigenwerte und [mm] v_i [/mm] Eigenvektoren.)
Warum ich das denke? In der Aufgabe ist nach einem "Lösungsraum" gefragt, und in der Vorlesung wurde gesagt, dass das Fundamentalsystem die Basis des Lösungsraumes eines Differentialgleichungssystems darstellt. (da alle Lösungen Linearkombinationen der Fundamentalsystemelemente sind)
So richtig wohl fühle ich mich mit Differentialgleichungen noch nicht, ich habe immer noch reichlich "Respekt" vor ihnen....
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Fr 11.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Kleine Fehler: x3=cx+d usw. überall die Integrationskonst. vergessen.
Damit hast du dann mit den a,b,c usw. auch ein Fundamentalsystem !
musst du nur noch als solches aufschreiben: es sind die Polynome vom Grad kleiner gleich 3!
Gruss leduart
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Hallo Rutzel,
> Hi Mathepower,
> hoffen wir, dass ich es heute schneller verstehe, als beim
> letzten mal;)
>
> sei c konstant.
>
> [mm]x_4=c[/mm]
>
> [mm]x_3=cx[/mm]
>
> [mm]x_2=\bruch{1}{2}cx^2+cx[/mm]
>
> [mm]x_1=\bruch{1}{6}cx^3+cx^2+cx[/mm]
Es müssen überall verschiedene Integrationskonstanten sein.
>
> So wäre es auf deine Methode gelöst. Ich denke aber, man
> soll hier ein Fundamentalsystem der Form
> [mm]\{e^{\lambda_1}v_1,...,e^{\lambda_n}v_n \}[/mm] finden.
> (mit [mm]\lambda_i[/mm] Eigenwerte und [mm]v_i[/mm] Eigenvektoren.)
>
> Warum ich das denke? In der Aufgabe ist nach einem
> "Lösungsraum" gefragt, und in der Vorlesung wurde gesagt,
> dass das Fundamentalsystem die Basis des Lösungsraumes
> eines Differentialgleichungssystems darstellt. (da alle
> Lösungen Linearkombinationen der Fundamentalsystemelemente
> sind)
Wie Du meinst.
Bestimme also zunächst einen Eigenvektor 1. Stufe:
[mm]A * \overrightarrow{e_{1}}=0[/mm]
Gegebenfalls ist ein Eigenvektor 2. Stufe zu bestimmen:
[mm]A^{2}*\overrightarrow{e_{2}}=A*\left(A*\overrightarrow{e_{2}}\right)=A*\overrightarrow{e_{1}}=0[/mm]
[mm]\Rightarrow A*\overrightarrow{e_{2}}=\overrightarrow{e_{1}}[/mm]
Das Spielchen geht so weiter, d.h ein Eigenvektor k. Stufe muß die Gleichung
[mm]A*\overrightarrow{e_{k}}=\overrightarrow{e_{k-1}}, \ k \ge 2[/mm]
erfüllen.
Dann besteht die Transforatmationsmatrix aus eben diesen Eigenvektoren.
Und zwar in genau dieser Reihenfolge: [mm]\left( \overrightarrow{e_{1}}, \ \overrightarrow{e_{2}}, \ \dots \right) [/mm]
Dann haben wir die Transformation [mm]x=T*u[/mm]
[mm]\Rightarrow x'=T*u'=A*x=A*T*u[/mm]
[mm]\gdw u'=\left(T^{-1}*A*T\right)*u[/mm]
Von dieser Matrix sind die Lösungen zu bestimmen.
Dann leg mal los.
>
> So richtig wohl fühle ich mich mit Differentialgleichungen
> noch nicht, ich habe immer noch reichlich "Respekt" vor
> ihnen....
>
> Gruß,
> Rutzel
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
nein, es geht doch viel einfacher.
sei A die 4x4-Matrize aus dem Ausgangspost.
du berechnest [mm] e^{tA}. [/mm] Dies ist einfach, da A nilpotent ist. (siehe sEkis Hinweis)
Die Spalten von [mm] e^{tA} [/mm] bilden dann die Basis des Lösungsraumes.
Für den Beweis siehe hier (Seite 157):
![[]](/images/popup.gif) Link zum Buch
trotzdem danke für deine Mühe.
Schönes Wochenende und viele Grüße,
Rutzel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Fr 11.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Bestimme den Raum der Lösungen des folgenden Systems vin
> linearen Differentialgleichungen:
>
> [mm]\bruch{dx_1}{dt}=x_2+x_3+x_4[/mm]
>
> Eine beliebige Matrix ''X'' kann eindeutig in eine Summe
> X = A + N
> zerlegt werden, wobei
> A diagonalisierbar ist
> N nilpotent ist
> A mit N kommutiert (d.h. AN = NA)
Deine Matrix ist Nilpotent, also ist N deine Matrix oben. A ist die Null-Matrix. (Falls du es so versuchen willst.)
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
hallo,
danke euch allen.
ich habe sEckis hinweis benutzt.
Gruß,
Rutzel
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