Lösungsweg für LGS mit Matrix. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es ist a = [mm] \bruch{1}{2}(1 [/mm] + [mm] \wurzel{5}).
[/mm]
Gesucht ist die Lösung für den Vektor v der folgenden Gleichung:
[mm] \pmat{ (1 - a) & 1 \\ 1 & -a } [/mm] * v = 0 |
Angeblich sollte man mit Gauß ALLE Lösungen finden können.
Ich finde damit aber nur v = [mm] \vektor{0 \\ 0}.
[/mm]
Es soll aber auch die Lösung v = [mm] {\vektor{ax \\ x}, x \in \IR} [/mm] geben. Sie funktioniert auch, wenn man sie einsetzt.
Komischerweise kommt man aber mit Hilfe von Gauß überhaupt nicht auf diese Lösung. Dann scheint Gauß ja wohl doch nicht so allumfassend zu sein als Lösungsalgorithmus. Ich finde das sehr merkwürdig.
Also folgende Fragen:
1. Kommt man mit Gauß irgendwie doch zu der Lösung, und wenn ja, wie?
2. Wenn nicht, wie kommt man sonst zu der Lösung?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Merowingian,
> Es ist a = [mm]\bruch{1}{2}(1[/mm] + [mm]\wurzel{5}).[/mm]
> Gesucht ist die Lösung für den Vektor v der folgenden
> Gleichung:
>
> [mm]\pmat{ (1 - a) & 1 \\ 1 & -a }[/mm] * v = 0
> Angeblich sollte man mit Gauß ALLE Lösungen finden
> können.
> Ich finde damit aber nur v = [mm]\vektor{0 \\ 0}.[/mm]
Schick doch mal Deine Lösung.
>
> Es soll aber auch die Lösung v = [mm]{\vektor{ax \\ x}, x \in \IR}[/mm]
> geben. Sie funktioniert auch, wenn man sie einsetzt.
>
> Komischerweise kommt man aber mit Hilfe von Gauß überhaupt
> nicht auf diese Lösung. Dann scheint Gauß ja wohl doch
> nicht so allumfassend zu sein als Lösungsalgorithmus. Ich
> finde das sehr merkwürdig.
Tja, dann hast Du dich wohl irgendwo verrechnet :-(.
>
> Also folgende Fragen:
>
> 1. Kommt man mit Gauß irgendwie doch zu der Lösung, und
> wenn ja, wie?
> 2. Wenn nicht, wie kommt man sonst zu der Lösung?
Lösung mit "Einsetzungsverfahren": Wir haben folgendes Gleichungssystem
[mm]\begin{array}(1-a)x&+y&=0 \\ x-ay=0&=0\end{array}[/mm].
Aus der 2. Gleichung ergibt sich $y=x/a$. Eingesetzt in die 1. Gleichung ergibt sich
[mm][mm] (1-a)x+\frac{1}{a}x=0$. [/mm] Nun ist aber $1-a [mm] +(1/a)=(-a^2+a+1)/a=0$; [/mm] d.h. Du kannst für x jede reelle Zahl wählen.
Mfg
zahlenspieler
|
|
|
| |
|
Ich verstehe nicht, warum [mm] \bruch{-a^{2} + a + 1}{a} [/mm] = 0 sein soll.
Mein Lösungsweg:
Gl. 1 ergibt (1 - a)x + y = 0
Gl. 2 ergibt x - ay = 0
Gl. 1 ergibt (1 - a)x + y = 0
Gl. 3 = [mm] \bruch{-Gl. 1}{1 - a} [/mm] + Gl. 2 ergibt -(a + [mm] \bruch{1}{1 - a})y [/mm] = 0
Gl. 4 = [mm] \bruch{Gl. 1}{1 - a} [/mm] ergibt x + [mm] \bruch{y}{1 - a} [/mm] = 0
Gl. 5 = [mm] \bruch{Gl. 2}{-(a + \bruch{1}{1 - a})} [/mm] ergibt y = 0
Aus dem Einsetzen von y in Gl. 4 folgt dann x = 0.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:07 So 07.01.2007 | | Autor: | unknown |
Hallo,
ein Fehler steckt in Gleichung 5, denn
[mm]
a + \frac{1}{1-a}
= \frac{(1 - a)\cdot a + 1}{1-a}
= \frac{-1 + 1}{1-a}
= 0.
[/mm]
Nebenrechnung:
[mm]
a \cdot (1 - a)
= \Bigl(\frac12 (1 + \sqrt5)\Bigr)\cdot\Bigl(\frac12(2 - 1 - \sqrt5)\Bigr)
= \frac14 \Bigl( (1 + \sqrt5)(1 - \sqrt5) \Bigr)
= \frac14(1 - 5)
= -1.
[/mm]
Wenn Du die Nebenrechnung genau ansiehst, kannst Du übrigens feststellen, daß in Deiner Matrix $(-a)$-mal die erste Zeile bereits gleich der zweiten ist. Damit solltest Du die Lösung schneller bekommen.
Hoffe, ich konnte helfen.
PS: Falls Du das schon hattest, ist es meistens übersichtlicher den Gauß direkt mit Matrizen zu aufzuschreiben. Dann findet man seine Fehler auch leichter. (Glaub' mir, ich hab's auch auf die "harte Art" gelernt...).
|
|
|
|
