Lösungszahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:27 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | Seien f: [mm] \IR \to \IR; [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f(x) [mm] \in \IZ[X], [/mm] m [mm] \in \IN [/mm] und sei
[mm] \rho_{.}(m,f): \IZ \to \IN_{0}; [/mm] a [mm] \mapsto \rho_{a}(m,f)
[/mm]
wobei [mm] \rho_{a}(m,f) [/mm] := #{x [mm] \in \IN_{0}; [/mm] x<m und f(x)+a [mm] \equiv [/mm] 0 mod m}
Zeigen Sie:
[mm] \summe_{a=0}^{m-1} \rho_{a}(m,f) [/mm] = m
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Hallo,
ich habe Probleme bei obiger Aufgabe. Kann mir evtl. jemand einen Ansatz verraten wie ich hier dran gehen soll.
Vielen Dank!
LG!!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:53 So 31.05.2009 | | Autor: | Leni-H |
Weiß hier niemand was dazu?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:05 So 31.05.2009 | | Autor: | statler |
Hallo + frohe Pfingsten!
> Seien f: [mm]\IR \to \IR;[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] f(x) [mm]\in \IZ[X],[/mm] m [mm]\in \IN[/mm]
> und sei
Das scheint mir ganz schlecht hingeschrieben: Vermutlich soll f(X) [mm] \in \IZ[X] [/mm] sein, und f die von diesem Polynom durch Einsetzen induzierte Abb.
> [mm]\rho_{.}(m,f): \IZ \to \IN_{0};[/mm] a [mm]\mapsto \rho_{a}(m,f)[/mm]
>
> wobei [mm]\rho_{a}(m,f)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= # { x [mm]\in \IN_{0};[/mm] x < m und f(x) + a
> [mm]\equiv[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 mod m }
>
> Zeigen Sie:
> [mm]\summe_{a=0}^{m-1} \rho_{a}(m,f)[/mm] = m
Jetzt soll x von 0 bis m-1 gehen, also gerade ein volles Restsystem mod m durchlaufen. und zählen tu ich, für wie viele Reste x jeweils f(x) [mm] \equiv [/mm] -a mod m ist. a (und damit auch -a) soll aber auch gerade ein volles Restsystem durchlaufen, dann kriege ich beim Zählen natürlich gerade m, weil jedes f(x) in genau einer dieser Restklassen liegt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 So 31.05.2009 | | Autor: | Leni-H |
Hm ja, mir ist das alles klar, wenn mans so in Worten erklärt. Aber wie kann man den Beweis denn mathematisch aufschreiben??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 Di 02.06.2009 | | Autor: | Leni-H |
Kann mir jemand hier bei der mathematischen Formulierung helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Di 02.06.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
Für 0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] m-1 bilden die Mengen [mm] U_{a} [/mm] := {x [mm] \in \IN_{0}; [/mm] x < m und f(x) + a [mm] \equiv [/mm] 0 mod m} eine Partition (= disjunkte Zerlegung) der Menge U = {x [mm] \in \IN_{0}; [/mm] x < m}. Es gibt m Stück von ihnen, von denen einige evtl. leer sind. Je nach Ausbildungsstand ist das klar oder müßte mehr oder weniger detailliert bewiesen werden.
Dann ist aber $$m\ =\ |U|\ =\ [mm] \summe_{a} |U_{a}|$$ [/mm] klar.
Wenn du es verstanden hast, solltest du es auch ausdrücken können. Mach wenigstens einen Versuch. Bitte.
Gruß
Dieter
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