Log-/e-Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Lucy234 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f : [mm] (0,1)\to \IR [/mm] mit f(x) := log [mm] (x^{3}) [/mm] + [mm] e^{x} [/mm] − log (x).
a) Zeigen Sie, dass f streng monoton wachsend ist und bestimmen Sie [mm] f((0,\infty)).
[/mm]
b) Skizzieren Sie den Graphen von f.
c) Zeigen Sie, dass f eine stetige, streng monoton wachsende Umkehrfunktion [mm] f^{-1}
[/mm]
besitzt. Was ist [mm] f^{-1}(e)? [/mm] |
Hallo zusammen,
ich versuche gerade zu zeigen, dass die Funktion streng monoton wachsend ist. Hab mir jetzt überlegt, dass ich dafür zeige, dass: [mm]f(x_{1}) < f(x_{2}) \gdw x_{1} < x_{2}[/mm].
Hab die Gleichung jetzt soweit umgeformt:
[mm]log(\bruch{{x_{1}}^{2}}{{x_{2}}^{2}})< e^{x_{2}}-e^{x_{1}}[/mm].
Damit komm ich aber irgendwie nicht weiter.
Kann mir an der Stelle jemand weiterhelfen?
Oder kann ich die Monotonie vielleicht sogar damit begründen, dass f eine Summe aus monotonen Funktionen ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Mi 07.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Berechne mal $f'(x)$.
Du wirst sehen: $f'(x) > 0$ für jedes x in (0,1)
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Mi 07.01.2009 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sei die Funktion f : [mm](0,1)\to \IR[/mm] mit f(x) := log
> [mm](x^{3})[/mm] + [mm]e^{x}[/mm] − log (x).
> a) Zeigen Sie, dass f streng monoton wachsend ist und
> bestimmen Sie [mm]f((0,\infty)).[/mm]
> b) Skizzieren Sie den Graphen von f.
> c) Zeigen Sie, dass f eine stetige, streng monoton
> wachsende Umkehrfunktion [mm]f^{-1}[/mm]
> besitzt. Was ist [mm]f^{-1}(e)?[/mm]
> Hallo zusammen,
> ich versuche gerade zu zeigen, dass die Funktion streng
> monoton wachsend ist. Hab mir jetzt überlegt, dass ich
> dafür zeige, dass: [mm]f(x_{1}) < f(x_{2}) \gdw x_{1} < x_{2}[/mm].
>
> Hab die Gleichung jetzt soweit umgeformt:
> [mm]log(\bruch{{x_{1}}^{2}}{{x_{2}}^{2}})< e^{x_{2}}-e^{x_{1}}[/mm].
>
> Damit komm ich aber irgendwie nicht weiter.
> Kann mir an der Stelle jemand weiterhelfen?
> Oder kann ich die Monotonie vielleicht sogar damit
> begründen, dass f eine Summe aus monotonen Funktionen ist?
Hallo,
nutze die Logarithmengesetze. Es ist log [mm] (x^3)=3*log [/mm] x. Die gegebene Funktion vereinfacht sich zu y=2log x [mm] +e^x. [/mm] Die Summe zweier monoton wachsender Funktionen ist wieder monoton wachsend.
Gruß Abakus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Lucy234 |
Vielen Dank erst mal für eure schnelle Antwort!
Habt ihr vielleicht auch noch einen Tipp für mich, wie ich für die Umkehrfunktion das x aus der Logarithmus- oder der e-Funktion rausziehen kann?
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Du kannst die Umkehrfunktion hier nicht explizit bilden. Das musst Du aber auch gar nicht - du sollst ja nur zeigen, dass es eine gibt.
Außerdem sollst Du herausfinden, für welches x sich der Funktionswert f(x)=e ergibt. Das ist nicht schwierig zu finden... Im Notfall musst Du mal ein bisschen probieren. Da bieten sich Zahlen wie [mm] e,\wurzel{e},e^2,\bruch{1}{e} [/mm] sowie kleine ganze Zahlen (1,2...) an.
Grüße,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Lucy234 |
Danke für den Hinweis! Ich dachte, ich brauche eine konkrete Umkehrfunktion, um [mm] f^{-1}(e) [/mm] bestimmen zu können. An die Möglichkeit einfach mal etwas einzusetzen hab ich überhaupt nicht gedacht.
Gruß, Lucy
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