Logarithmen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Mi 19.10.2005 | | Autor: | suzan |
hallöchen zusammen,
ich soll die variablen x bestimmen:
a)
[mm] log_{4}1024=x
[/mm]
[mm] 4^{x}=1024
[/mm]
xlg4 =lg 1024
x= [mm] \bruch{lg1024}{lg4}
[/mm]
[mm] x=\bruch{3,0101}{0,6021}
[/mm]
x=4,9993
[mm] log_{4}1024=4,9993
[/mm]
b)
[mm] log_{x}343=3
[/mm]
[mm] x^{3}=343
[/mm]
lg x= lg 343
wie komme ich hier weiter?
|
|
| |
|
Hallo suzan!
> a)
> [mm]log_{4}1024=x[/mm]
>
> [mm]4^{x}=1024[/mm]
>
> xlg4 =lg 1024
>
> x= [mm]\bruch{lg1024}{lg4}[/mm]
>
> [mm]x=\bruch{3,0101}{0,6021}[/mm]
>
> x=4,9993
>
> [mm]log_{4}1024=4,9993[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Vom Prinzip her hast Du alles richtig gerechnet. Aber Du solltest diese Werte jeweils im Taschenrechner belassen und ungerundet weiterrechnen.
Es gibt nämlich eine exakte Lösung mit [mm] $\log_4(1024) [/mm] \ = \ [mm] \red{5}$
[/mm]
Alternativ kannst Du hier auch über die Primfaktorzerlegung vorgehen:
$1024 \ = \ [mm] 2^{10} [/mm] \ = \ [mm] 2^{2*5} [/mm] \ = \ [mm] \left(2^2\right)^5 [/mm] \ = \ [mm] 4^5$
[/mm]
Damit wird dann: [mm] $\log_4(1024) [/mm] \ = \ [mm] \log_4\left(4^5\right) [/mm] \ = \ [mm] 5*\log_4(4) [/mm] \ = \ 5*1 \ = \ 5$
> b)
> [mm]log_{x}343=3[/mm]
>
> [mm]x^{3}=343[/mm]
Und hier nun auf beiden Seiten der Gleichung nun die 3. Wurzel ziehen.
Oder wie oben: $343 \ = \ [mm] 7^3$
[/mm]
Damit wird dann:
[mm] $\log_x(343) [/mm] \ = \ [mm] \log_x\left(7^3\right) [/mm] \ = \ [mm] 3*\log_x(7) [/mm] \ = \ 3$ [mm] $\gdw$ $\log_x(7) [/mm] \ = \ 1$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ = \ 7$
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Mi 19.10.2005 | | Autor: | suzan |
also ich muss sagen das ist etwas einfacher als das vorrige...lach..
dazu kommt noch c, und d.
c)
[mm] log_{2}x=12
[/mm]
tja und wieder steht das x anders...
d) [mm] log(3*10^{-19})=x
[/mm]
und das kann ich gar nicht die ^{-19} kommen die zum log?
|
|
|
| |
|
Hallo suzan,
> c)
> [mm]\log_{2}x=12[/mm]
> tja und wieder steht das x anders...
Aber Du kannst auch hier analog zum vorigen Beispiel umformen:
[mm] $\log_2x [/mm] = 12 [mm] \gdw 2^{\log_2x} [/mm] = [mm] 2^{12} \gdw [/mm] x = [mm] 2^{12}$
[/mm]
> d) [mm]\log\left(3*10^{-19}\right)=x[/mm]
> und das kann ich gar nicht die ^{-19} kommen die zum log?
Hier verwendest Du eines der Logarithmus-Gesetze. Es gilt nämlich:
[mm] $\log_a\left(bc\right) [/mm] = [mm] \log_ab [/mm] + [mm] \log_ac$
[/mm]
Also in unserem Falle:
[mm] $\log_a3 [/mm] + [mm] \log_a\left(10^{-19}\right) [/mm] = [mm] \log_a3 [/mm] - [mm] 19\log_a\left(10\right) [/mm] = x$
Jetzt kenne ich leider das a nicht, das Du hier verwenden mußtest. Es gilt aber generell:
[mm] $\log_ab [/mm] = k [mm] \gdw [/mm] b = [mm] a^k \gdw [/mm] b = [mm] e^{k\ln a} \gdw \ln [/mm] b = [mm] k\ln [/mm] a [mm] \gdw [/mm] k = [mm] \frac{\ln b}{\ln a}$.
[/mm]
Damit erhalten wir für deine Gleichung:
[mm] $\frac{\ln 3}{\ln a} [/mm] - [mm] 19\frac{\ln\left(10\right)}{\ln a} [/mm] = x$
Grüße
Karl
|
|
|
|
