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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Logarithmengesetze
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Logarithmengesetze: erste allein gelöste Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 So 16.10.2005
Autor: Esperanza

Hallöle!

Hab hier mal ne nette Aufgabe, die ich gerade geübt habe. Ich habe sie komplett durchgerechnet und das Ergebnis sieht ganz gut aus, nur stimmt es auch? Vielleicht kann mir jemand helfen.

[mm] \wurzel[6]{ \bruch{(x^2-y)*(x+1)^6*e^-^2}{(x^4-2x^2*y+y^2)}} [/mm]

Zunächst habe ich die Wurzel wegrationalisiert:

[mm] \bruch{1}{6}ln{ \bruch{(x^2-y)*(x+1)^6*e^-^2}{(x^4-2x^2*y+y^2)}} [/mm]

Dann habe ich das Logarithmengesetz für den Bruch angewandt:


[mm] \bruch{1}{6} \{ln(x^2-y)*(x+1)^6*e^-^2 \}- \{ln(x^4-2x^2*y+y^2) \} [/mm]


So, jetzt hoffe ich das das nächste richtig ist. Ich habe jetzt das Gesetz für das Produkt angewandt:

[mm] \bruch{1}{6}\{ln(x^2-y)+ln(x+1)^6+lne^-^2 \}-\{ln(x^4-2x^2*y+y^2)\} [/mm]

Jetzt hab ich ausmultipliziert und auf den hinteren Teil zusätzlich auch noch das Gesetz für das Produkt angewandt:

[mm] \bruch{1}{6}(lnx^2-lny+lnx^6+ln^6+lne^-^2)-(lnx^4-(2lnx^2*lny)+lny^2) [/mm]

Das wurde dann zu:

[mm] \bruch{1}{6}(lnx^2-lny+lnx^6+ln^6+lne^-^2)-(lnx^4-2lnx^2+lny+lny^2) [/mm]

Dann habe ich die "innere Klammer" aufgelöst:

[mm] \bruch{1}{6}(lnx^2-lny+lnx^6+ln^6+lne^-^2-lnx^4+2lnx^2-lny-lny^2) [/mm]

Dann habe ich die zusammengehörigen Teile zusammengefasst und das Gesetz für die Potenzen angewandt:

[mm] \bruch{1}{6}(6lnx-2lny+6lnx+6ln-2lne-4lnx-2lny) [/mm]

Jetzt habe ich weiter zusammengefasst und mit 1/6 ausmultipliziert.
Ergebnis war dann:

[mm] ln-\bruch{1}{3}lne+\bruch{4}{3}lnx-\bruch{2}{3}lny [/mm]

So, Finger blutig getippt...bin mir jetzt unsicher ob das stimmt. Kann das mal jemand überprüfen? Das ist die erste dieser Aufgaben die ich total alleine gelöst habe und Dank Loddars Hilfe! Hab aber trotzdem noch Unsicherheiten. Z.B. ist da in dem Bruch ein "e" drin. Muss ich das gesondert behandeln weil es die eulersche zahl ist oder rechne ich damit genauso wie mit den anderen Teilen?

Danke schonmal!



        
Bezug
Logarithmengesetze: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:15 So 16.10.2005
Autor: Josef

Hallo,



>  
> [mm]\wurzel[6]{ \bruch{(x^2-y)*(x+1)^6*e^-^2}{(x^4-2x^2*y+y^2)}}[/mm]
>  

Mein Vorschlag:

[mm]\wurzel[6]{\bruch{(x^2-y)*(x+1)^6*e^-^2}{(x^4-2x^2*y+y^2)}[/mm]


[mm]\wurzel[6]{\bruch{(x^2-y)*(x+1)^6}{(x^4-2x^2+y^2)*e^2}[/mm]



[mm]\wurzel[6]{\bruch{(x^2-y)(x+1)^6}{(x^2-y)(x^2-y)*e^2}[/mm]



(x+1)[mm]\wurzel[6]{\bruch{(x^2-y)}{(x^2-y)(x^2-y)*e^2}[/mm]

(x+1)[mm]\wurzel[6]{\bruch{1}{x^2-y)*e^2}[/mm]


ohne Garantie!

Bezug
        
Bezug
Logarithmengesetze: Korrektur?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:16 Mi 19.10.2005
Autor: Esperanza

Hallo nochmal!

Danke für den Vorschlag zu einer Lösung!

Trotzdem wäre die Frage: Ist das trotzdem richtig oder falsch?

Danke für die Antwort:)

Esperanza

Bezug
        
Bezug
Logarithmengesetze: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:41 Mi 19.10.2005
Autor: Loddar

Hallo Esperanza!


> So, jetzt hoffe ich das das nächste richtig ist. Ich habe
> jetzt das Gesetz für das Produkt angewandt:
>  
> [mm]\bruch{1}{6}\{ln(x^2-y)+ln(x+1)^6+lne^-^2 \}-\{ln(x^4-2x^2*y+y^2)\}[/mm]

[daumenhoch] Bis hier alles richtig ...


> Jetzt hab ich ausmultipliziert und auf den hinteren Teil
> zusätzlich auch noch das Gesetz für das Produkt angewandt:
>  
> [mm]\bruch{1}{6}(lnx^2-lny+lnx^6+ln^6+lne^-^2)-(lnx^4-(2lnx^2*lny)+lny^2)[/mm]

[notok]

Hier machst Du nun einen Fehler bei der Anwendung der MBLogarithmengesetze.

Diese darfst Du nur auf Produkte oder Quotienten (Brüche) anwenden.

Dafür musst Du den ehemaligen Nenner zunächst faktorisieren (Stichwort: MBbinomische Formel) :

[mm] $x^4-2x^2*y+y^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(x^2\right)^2 [/mm] - [mm] 2*x^2*y [/mm] + [mm] y^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(x^2 - y\right)^2$ [/mm]


Damit wird:

[mm]\bruch{1}{6}*\left[\ln(x^2-y)+\ln(x+1)^6+\ln\left(e^{-2}\right)-\ln\left(x^2 - y\right)^2\right][/mm]

[mm]= \ \bruch{1}{6}*\left[\ln(x^2-y)+6*\ln(x+1)-2*\ln\left(e\right)-2*\ln\left(x^2 - y\right)\right][/mm]


Nun kannst Du noch etwas zusammenfassen und anwenden [mm] $\ln(e) [/mm] \ = \ 1$ :

[mm]= \ \bruch{1}{6}*\left[- \ln(x^2-y)+6*\ln(x+1)-2*1\right][/mm]


Wenn Du möchtest, kannst Du hier jetzt den Bruch wieder in die eckige Klammer hineinmultiplizieren ...


Gruß
Loddar


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