Logarithmengleichungen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm]
2ln(x^2-5)=ln(x+5)
[/mm]
|
<br>Eine Lösungsidee wäre: die rechte und/oder linke Seite zu substituieren:
ln(x+5) = u und [mm] 2ln(x^2-5) [/mm] = [mm] v^2. [/mm] Es enstände die Gleichung
[mm] v^2 [/mm] = u, aber damit kann ich auch nichts anfangen
Eine andere Lösungsidee wäre: Logarithmengesetze anwenden
2 [mm] ln(x^2-5) [/mm] = ln (x+5) rechte Seite gleich Null
2 [mm] ln(x^2-5)-ln(x+5) [/mm] = 0 2 ln auflösen
[mm] ln((x^2-5)(x^2-5))/ln(x+5)=0
[/mm]
Aber auch hier komme ich nicht weiter
Über eine Idee würde ich mich sehr freuen
|
|
| |
|
Hallo,
> <br>Eine Lösungsidee wäre: die rechte und/oder linke
> Seite zu substituieren:
> ln(x+5) = u und [mm]2ln(x^2-5)[/mm] = [mm]v^2.[/mm] Es enstände die
> Gleichung
> [mm]v^2[/mm] = u, aber damit kann ich auch nichts anfangen
> Eine andere Lösungsidee wäre: Logarithmengesetze
> anwenden
> 2 [mm]ln(x^2-5)[/mm] = ln (x+5) rechte Seite gleich Null
> 2 [mm]ln(x^2-5)-ln(x+5)[/mm] = 0 2 ln auflösen
> [mm]ln((x^2-5)(x^2-5))/ln(x+5)=0[/mm]
> Aber auch hier komme ich nicht weiter
> Über eine Idee würde ich mich sehr freuen
Deine zweite Idee ist zielführend. Allerdings hast du da ein Logarithmengesetz falsch angewendet. Es ist
[mm]log(a)-log(b)=log\left( \frac{a}{b}\right)[/mm]
und damit bekommt man
[mm]\begin{aligned}
2*ln(x^2-5)-ln(x+5)&=0\ \gdw\\
\\
ln\left(\frac{(x^2-5)^2}{x+5}\right)&=0\ \gdw\\
\\
\frac{(x^2-5)^2}{x+5}&=1\\
\end{aligned}[/mm]
Das eigentliche Problem bekommst du jetzt, da das auf eine Gleichung 4. Ordnung hinausläuft, wenn man noch mit dem Nenner multipliziert.
BTW: Könnte das im ersten Logarithmus auch eine -25 sein anstelle der -5? Das würde die Sache sehr vereinfachen...
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 Di 06.03.2018 | | Autor: | fred97 |
> [mm]
2ln(x^2-5)=ln(x+5)[/mm]
>
>
> <br>Eine Lösungsidee wäre: die rechte und/oder linke
> Seite zu substituieren:
> ln(x+5) = u und [mm]2ln(x^2-5)[/mm] = [mm]v^2.[/mm] Es enstände die
> Gleichung
> [mm]v^2[/mm] = u, aber damit kann ich auch nichts anfangen
> Eine andere Lösungsidee wäre: Logarithmengesetze
> anwenden
> 2 [mm]ln(x^2-5)[/mm] = ln (x+5) rechte Seite gleich Null
> 2 [mm]ln(x^2-5)-ln(x+5)[/mm] = 0 2 ln auflösen
> [mm]ln((x^2-5)(x^2-5))/ln(x+5)=0[/mm]
> Aber auch hier komme ich nicht weiter
> Über eine Idee würde ich mich sehr freuen
>
>
Mit $2 [mm] \ln(x^2-5)= \ln ((x^2-5)^2)$ [/mm] und der Injektivität des Logarithmus kommt man sofort auf
[mm] (x^2-5)^2=x+5.
[/mm]
Aber eine Gleichung vom Grad 4 bleibt einem nicht erspart...
|
|
|
| |
|
Ich wollte mich für die Unterstützung ganz herzlich bedanken
MfG
Wolfgang Worm
|
|
|
|
