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| Aufgabe | | Bestimmen Sie den auf der Kurve [mm] y=2*e^{3t} [/mm] gelegenen Punkt, dessen Tangente mit der positiven t-Achse einen Winkel von 30° bildet. |
Hallo zusammen,
Ich habe mir überlegt, dass ich die 1. Ableitung = tan 30° setzen muss aber dann kann ich die Gleichung nicht auflösen.
Ich habe auch versucht die Funktion per Kettenregel und per logarithmische Differentiation abzuleiten. Dabei sind unterschiedliche Ergebnisse herausgekommen:
Kettenregel = [mm] 6*e^{3t}
[/mm]
log. Dif.:
lny=2*3t*lne
[mm] \bruch{1}{y}*y'=6t
[/mm]
[mm] y'=12t*e^{3t}
[/mm]
Welche der beiden Ableitungen ist falsch? Wo liegt der Fehler? Wie gehtes dann weiter? Ich komme nicht weiter. Danke im Vorraus.
lg
dh
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Mi 17.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bestimmen Sie den auf der Kurve [mm]y=2*e^{3t}[/mm] gelegenen Punkt,
> dessen Tangente mit der positiven t-Achse einen Winkel von
> 30° bildet.
> Hallo zusammen,
> Ich habe mir überlegt, dass ich die 1. Ableitung = tan 30°
> setzen muss aber dann kann ich die Gleichung nicht
> auflösen.
Das ist korrekt.
> Ich habe auch versucht die Funktion per Kettenregel und per
> logarithmische Differentiation abzuleiten. Dabei sind
> unterschiedliche Ergebnisse herausgekommen:
>
> Kettenregel = [mm]6*e^{3t}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Also:
[mm] \tan(30°)=6*e^{3t}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{\wurzel{3}}{3}=6*e^{3t}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{\wurzel{3}}{18}=e^{t}
[/mm]
Und jetzt die e-Funktion mit dem [mm] \ln [/mm] bearbeiten.
Marius
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Aha,
> [mm]\gdw \bruch{\wurzel{3}}{18}=e^{t}[/mm]
Wieso verschwindet hier die 3 im Exponent?
> Und jetzt die e-Funktion mit dem [mm]\ln[/mm] bearbeiten.
[mm] \bruch{\wurzel{3}}{18}=e^{t}
[/mm]
[mm] ln\bruch{\wurzel{3}}{18}=t
[/mm]
t=0,09622...???
laut Buch ist die Lösung: P1=(-0,780;0,193)
oder hab ich es falsch ausgerechnet?
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Hallo DoktorHossa!
> > [mm]\gdw \bruch{\wurzel{3}}{18}=e^{t}[/mm]
>
> Wieso verschwindet hier die 3 im Exponent?
Das tut er auch nicht (ist wohl ein Tippfehler).
> > Und jetzt die e-Funktion mit dem [mm]\ln[/mm] bearbeiten.
>
> [mm]\bruch{\wurzel{3}}{18}=e^{t}[/mm]
> [mm]ln\bruch{\wurzel{3}}{18}=t[/mm]
> t=0,09622...???
Aber auch hier musst Du Dich verrechnet haben.
> laut Buch ist die Lösung: P1=(-0,780;0,193)
Das erhalte ich auch.
Gruß vom
Roadrunner
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Also
[mm] \bruch{\wurzel{3}}{18}=e^{3t}
[/mm]
[mm] =ln\bruch{\wurzel{3}}{18}=3t*lne
[/mm]
[mm] =\bruch{ln\bruch{\wurzel{3}}{18}}{3}=t
[/mm]
ahhh
jetzt klappts 
t=-0,78...
Nur eine Frage noch:
Wie kommt man auf [mm] tan30°=\bruch{\wurzel{3}}{3} [/mm] ?
Wäre echt nett wenn ihr mir das noch kurz erklären könntet...
Danke
lg
dh
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Mi 17.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das ist ![[]](/images/popup.gif) dieser Tabelle entnommen, für 30°, 45°, 60° und 90° (und alle vielfachen davon) gibt es spezielle Funktionswerte für Sinus, Kosinus und Tangens
Marius
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Hallo DoktorHossa!
> log. Dif.:
>
> lny=2*3t*lne
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\bruch{1}{y}*y'=6t[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier ist rechts das $t_$ zuviel.
Gruß vom
Roadrunner
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