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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - LogarithmischeDifferentiation?
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LogarithmischeDifferentiation?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:40 Mi 17.06.2009
Autor: DoktorHossa

Aufgabe
Bestimmen Sie den auf der Kurve [mm] y=2*e^{3t} [/mm] gelegenen Punkt, dessen Tangente mit der positiven t-Achse einen Winkel von 30° bildet.

Hallo zusammen,
Ich habe mir überlegt, dass ich die 1. Ableitung = tan 30° setzen muss aber dann kann ich die Gleichung nicht auflösen.
Ich habe auch versucht die Funktion per Kettenregel und per logarithmische Differentiation abzuleiten. Dabei sind unterschiedliche Ergebnisse herausgekommen:

Kettenregel = [mm] 6*e^{3t} [/mm]

log. Dif.:

lny=2*3t*lne
[mm] \bruch{1}{y}*y'=6t [/mm]
[mm] y'=12t*e^{3t} [/mm]

Welche der beiden Ableitungen ist falsch? Wo liegt der Fehler? Wie gehtes dann weiter? Ich komme nicht weiter. Danke im Vorraus.

lg

dh

        
Bezug
LogarithmischeDifferentiation?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:48 Mi 17.06.2009
Autor: M.Rex

Hallo

> Bestimmen Sie den auf der Kurve [mm]y=2*e^{3t}[/mm] gelegenen Punkt,
> dessen Tangente mit der positiven t-Achse einen Winkel von
> 30° bildet.
>  Hallo zusammen,
>  Ich habe mir überlegt, dass ich die 1. Ableitung = tan 30°
> setzen muss aber dann kann ich die Gleichung nicht
> auflösen.

Das ist korrekt.

> Ich habe auch versucht die Funktion per Kettenregel und per
> logarithmische Differentiation abzuleiten. Dabei sind
> unterschiedliche Ergebnisse herausgekommen:
>  
> Kettenregel = [mm]6*e^{3t}[/mm]

[daumenhoch]

Also:
[mm] \tan(30°)=6*e^{3t} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{\wurzel{3}}{3}=6*e^{3t} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{\wurzel{3}}{18}=e^{t} [/mm]

Und jetzt die e-Funktion mit dem [mm] \ln [/mm] bearbeiten.

Marius

Bezug
                
Bezug
LogarithmischeDifferentiation?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:12 Mi 17.06.2009
Autor: DoktorHossa

Aha,

>  [mm]\gdw \bruch{\wurzel{3}}{18}=e^{t}[/mm]

Wieso verschwindet hier die 3 im Exponent?

> Und jetzt die e-Funktion mit dem [mm]\ln[/mm] bearbeiten.

[mm] \bruch{\wurzel{3}}{18}=e^{t} [/mm]
[mm] ln\bruch{\wurzel{3}}{18}=t [/mm]
t=0,09622...???

laut Buch ist die Lösung: P1=(-0,780;0,193)

oder hab ich es falsch ausgerechnet?

Bezug
                        
Bezug
LogarithmischeDifferentiation?: Tippfehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:16 Mi 17.06.2009
Autor: Roadrunner

Hallo DoktorHossa!


> >  [mm]\gdw \bruch{\wurzel{3}}{18}=e^{t}[/mm]

>  
> Wieso verschwindet hier die 3 im Exponent?

Das tut er auch nicht (ist wohl ein Tippfehler).

  

> > Und jetzt die e-Funktion mit dem [mm]\ln[/mm] bearbeiten.
>  
> [mm]\bruch{\wurzel{3}}{18}=e^{t}[/mm]
> [mm]ln\bruch{\wurzel{3}}{18}=t[/mm]
>  t=0,09622...???

Aber auch hier musst Du Dich verrechnet haben.

  

> laut Buch ist die Lösung: P1=(-0,780;0,193)

Das erhalte ich auch.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                
Bezug
LogarithmischeDifferentiation?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:31 Mi 17.06.2009
Autor: DoktorHossa

Also

[mm] \bruch{\wurzel{3}}{18}=e^{3t} [/mm]
[mm] =ln\bruch{\wurzel{3}}{18}=3t*lne [/mm]
[mm] =\bruch{ln\bruch{\wurzel{3}}{18}}{3}=t [/mm]
ahhh
jetzt klappts :-)
t=-0,78...

Nur eine Frage noch:

Wie kommt man auf [mm] tan30°=\bruch{\wurzel{3}}{3} [/mm] ?

Wäre echt nett wenn ihr mir das noch kurz erklären könntet...

Danke

lg

dh

Bezug
                                        
Bezug
LogarithmischeDifferentiation?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Mi 17.06.2009
Autor: M.Rex

Hallo

Das ist []dieser Tabelle entnommen, für 30°, 45°, 60° und 90° (und alle vielfachen davon) gibt es spezielle Funktionswerte für Sinus, Kosinus und Tangens

Marius

Bezug
        
Bezug
LogarithmischeDifferentiation?: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:50 Mi 17.06.2009
Autor: Roadrunner

Hallo DoktorHossa!


> log. Dif.:
>  
> lny=2*3t*lne

[ok]


> [mm]\bruch{1}{y}*y'=6t[/mm]

[notok] Hier ist rechts das $t_$ zuviel.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
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