Logarithmische Ableitung Sin < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Leiten Sie die Umkehrfunktionen der Sinus- und Kosinusfunktionen mit Hilfe einer logarithmischen Darstellung ab. Diese Darstellung ist herzuleiten! |
Hallo,
Als erstes brauche ich also offenbar eine logarithmische Darstellung der Sinusfunktion..
Wenn ich die Eulersche-Formel heranziehe wäre das:
[mm] $\cos [/mm] x + i [mm] \sin [/mm] x = [mm] e^{i x}$
[/mm]
und
[mm] $\cos [/mm] x - i [mm] \sin [/mm] x = [mm] e^{-i x}$
[/mm]
Und für sin(x) ergibt sich:
[mm] $\sin [/mm] x = 1/2i * [mm] (e^{ix} [/mm] - [mm] e^{-ix})$
[/mm]
Bin ich hiermit schonmal auf dem richtigen Weg?
Wenn ja: Wie gehts denn weiter?
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Hallo,
> Leiten Sie die Umkehrfunktionen der Sinus- und
> Kosinusfunktionen mit Hilfe einer logarithmischen
> Darstellung ab. Diese Darstellung ist herzuleiten!
> Hallo,
>
> Als erstes brauche ich also offenbar eine logarithmische
> Darstellung der Sinusfunktion..
>
> Wenn ich die Eulersche-Formel heranziehe wäre das:
> [mm]\cos x + i \sin x = e^{i x}[/mm]
> und
> [mm]\cos x - i \sin x = e^{-i x}[/mm]
>
> Und für sin(x) ergibt sich:
> [mm]\sin x = 1/2i * (e^{ix} - e^{-ix})[/mm]
>
> Bin ich hiermit schonmal auf dem richtigen Weg?
> Wenn ja: Wie gehts denn weiter?
Mir ist der Sinn der Aufgabenstellung noch nicht so ganz klar. Aber du hast die Worte Umkehrfunktion sowie logarithmisch auch gelesen? Also geht es darum, eine Darstellung für die Arkussinus bzw. die Arkuskosinusfunktion herzuleiten. Von daher würde ich jetzt damit weitermachen, die Gleichung
[mm]x=\frac{1}{2i}*\left(e^{iy}-e^{-iy}\right)[/mm]
nach y aufzulösen.
Gruß, Diophant
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Eine Teilaufgabe bestand darin, die Arkusfunktionen abzuleiten - mit Hilfe der Ableitung von Umkehrfunktionen. Dafür brauchte ich die Ableitung des Sinus bzw. Kosinus.
Diese zweite Teilaufgabe besteht nun darin, die Arkusfunktion auf eine andere Art und Weise abzuleiten.
Wenn ich nun fortfahre erhalte ich:
$2*i*x = [mm] e^{iy} [/mm] - [mm] e^{-iy}$ [/mm] /* e^iy
=>
[mm] $2*i*x*e^{iy} [/mm] = [mm] e^{2(iy)} [/mm] - 1$
also:
[mm] $e^{(iy)2} [/mm] - [mm] 2*i*x*e^{iy} [/mm] - 1 = 0$
Substituieren: $u := [mm] e^{iy}$ [/mm]
[mm] $u^2 [/mm] - (2xi)u - 1 = 0$
Quadratische Gleichung lösen:
[mm] $u_1 [/mm] = ix + [mm] \sqrt{2i^2x^2 +2}$
[/mm]
[mm] $u_2 [/mm] = ix - [mm] \sqrt{2i^2x^2 + 2}$
[/mm]
Damit wäre dann
[mm] $e^{iy} [/mm] = ix [mm] \pm \sqrt{2i^2x^2 + 2}$
[/mm]
und für y ergibt sich:
[mm] $ln(e^{iy} [/mm] = ln ( ix [mm] \pm \sqrt{2i^2x^2 + 2}) [/mm] $
=>
$iy = ln ( ix [mm] \pm \sqrt{2i^2x^2 + 2}) [/mm] $
$ y = ln ( ix [mm] \pm \sqrt{2i^2x^2 + 2}) [/mm] * 1/i $
...
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Hallo,
> Eine Teilaufgabe bestand darin, die Arkusfunktionen
> abzuleiten - mit Hilfe der Ableitung von Umkehrfunktionen.
> Dafür brauchte ich die Ableitung des Sinus bzw. Kosinus.
>
> Diese zweite Teilaufgabe besteht nun darin, die
> Arkusfunktion auf eine andere Art und Weise abzuleiten.
>
> Wenn ich nun fortfahre erhalte ich:
>
> [mm]2*i*x = e^{iy} - e^{-iy}[/mm] /* e^iy
> =>
> [mm]2*i*x*e^{iy} = e^{2(iy)} - 1[/mm]
> also:
> [mm]e^{(iy)2} - 2*i*x*e^{iy} - 1 = 0[/mm]
>
> Substituieren: [mm]u := e^{iy}[/mm]
> [mm]u^2 - (2xi)u - 1 = 0[/mm]
>
> Quadratische Gleichung lösen:
> [mm]u_1 = ix + \sqrt{2i^2x^2 +2}[/mm]
> [mm]u_2 = ix - \sqrt{2i^2x^2 + 2}[/mm]
Deine quadratische Gleichung ist noch richtig. Aber dann wird es völlig falsch, wie kommst du auf deine Diskriminante? Der Summand ix vor der Wurzel passt, aber die Diskriminante ist falsch.
Außerdem musst du dir jetzt überlegen, welches der beiden Vorzeichen überhaupt in Frage kommt. Aber das kann man erst entscheiden, wenn die Diskriminante stimmt.
Gruß, Diophant
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
ich verstehe.
Ich habe so die quadratische Gleichung zu lösen versucht (a-b-c-Formel):
$ [-(-2xi) \pm \sqrt{(-2xi)^2 - 4*(-1)}] * 1/2 $
=
$ [2xi \pm \sqrt{4x^2i^2 +4}] * 1/2$
=
$ \frac{2xi}{2} \pm \frac{\sqrt{4x^2i^2+4}}{2}$
=
$ xi \pm \frac{\sqrt{4x^2i^2+4}}{\sqrt{4}$
=
$xi \pm \sqrt{x^2i^2+1}$
Stimmt es nun?
Zur Sache mit dem Vorzeichen: es ist ja u = e^{iy}.
Da die e-Funktion keinen negativen Wertebereich hat muss auch u > 0 sein? Wenn das so wäre, komme ich abre nicht weiter, denn u < 0 .. mh?
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Hallo,
> Hallo,
>
> ich verstehe.
>
> Ich habe so die quadratische Gleichung zu lösen versucht
> (a-b-c-Formel):
>
> [mm][-(-2xi) \pm \sqrt{(-2xi)^2 - 4*(-1)}] * 1/2[/mm]
> =
> [mm][2xi \pm \sqrt{4x^2i^2 +4}] * 1/2[/mm]
> =
> [mm]\frac{2xi}{2} \pm \frac{\sqrt{4x^2i^2+4}}{2}[/mm]
>
> =
> [mm]xi \pm \frac{\sqrt{4x^2i^2+4}}{\sqrt{4}[/mm]
>
> =
> [mm]xi \pm \sqrt{x^2i^2+1}[/mm]
>
> Stimmt es nun?
Ja, aber so lässt man es nicht stehen. Verwende [mm] i^2=-1!
[/mm]
> Zur Sache mit dem Vorzeichen: es ist ja u = [mm]e^{iy}.[/mm]
>
> Da die e-Funktion keinen negativen Wertebereich hat muss
> auch u > 0 sein? Wenn das so wäre, komme ich abre nicht
> weiter, denn u < 0 .. mh?
Nein, so einfach liegen die Dinge hier nicht. [mm] e^{iy} [/mm] ist komplex, da kann man nicht mehr mit Vorzeichen argumentieren, weil komplexe Zahlen keine Vorzeichen besitzen!
Wie hängen Definitions- und Wertemengen einer umkehrbaren Funktion und deren Umkehrfunktion zusammen? Mit dieser Überlegung kommst du weiter.
PS: und das sind doch alles Fragen, die du hier stellst, dann stelle sie doch als Frage und nicht als Mitteilung ein. Ich habe das jetzt jeweils gleich gesehen, aber wenn du Pech hast, meinen die anderen User, der Thread sei abgeschlossen und reagieren nicht. Bei einem Frageartikel jedoch erscheint dein Thread in der Liste der offenen Fragen und wird somit wahrgenommen.
Gruß, Diophant
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Vielen Dank für den Hinweis bzgl. des "Frage"-Status' (statt "Mitteilung").
Zu deinem Tipp bzgl. der Definitions- und Wertemenge(n):
Wenn wir beim Sinus bleiben, dann betrachtet man - insofern ich richtig informiert bin - i.d.R. das Sinus-Intervall [mm] $[-\pi/2;\pi/2]$ [/mm] mit zugehörigem Wertemengebereich [-1,1].
Für die Umkehrfunktion (arcsin) heißt das:
$arcsin: [-1,1] -> [mm] [-\pi/2;\pi/2] [/mm] $
Nun weiß ich leider nicht, wie ich dieses Wissen auf obige Zeile anwenden kann:
[mm] $e^{iy}= [/mm] xi [mm] \pm \sqrt{1-x^2}$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Fr 27.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für den Hinweis bzgl. des "Frage"-Status'
> (statt "Mitteilung").
>
> Zu deinem Tipp bzgl. der Definitions- und Wertemenge(n):
>
> Wenn wir beim Sinus bleiben, dann betrachtet man - insofern
> ich richtig informiert bin - i.d.R. das Sinus-Intervall
> [mm][-\pi/2;\pi/2][/mm] mit zugehörigem Wertemengebereich [-1,1].
das macht jedenfalls Sinn, weil der auf dieses Intervall eingeschränkte
Sinus bijektiv ist (mit "maximalen" Wertebereich [mm] $[-1,1]\,$).
[/mm]
> Für die Umkehrfunktion (arcsin) heißt das:
> [mm]arcsin: [-1,1] -> [-\pi/2;\pi/2][/mm]
> Nun weiß ich leider nicht, wie ich dieses Wissen auf obige
> Zeile anwenden kann:
> [mm]e^{iy}= xi \pm \sqrt{1-x^2}[/mm]
Es war [mm] $x=\sin(y)\,;$ [/mm] insbesondere gilt mit der Eulerschen Formel
[mm] $e^{iy}=\cos(y)+i\sin(y),$
[/mm]
wobei für $y [mm] \in [-\pi/2,\pi/2]$ [/mm] sicherlich [mm] $\cos(y)\,\ge\,0$ [/mm] gilt.
Daher weißt Du bei Dir
[mm] $e^{iy}=\red{+}\underbrace{\sqrt{1-x^2}}_{=\cos(y)}\,+\,i \underbrace{x}_{=\sin(y)}.$
[/mm]
(Das hätte man auch ohne pq- bzw. abc-Formel hinschreiben können - einfach
vermittels des Ansatzes, [mm] $e^{iy}=\cos(y)+i\sin(y)$ [/mm] so umzuschreiben, dass rechterhand
nur noch [mm] $x\,$ [/mm] auftaucht:
Für $y [mm] \in [-\pi/2,\pi/2]$ [/mm] gilt [mm] $\cos(y)=|\cos(y)|=\sqrt{\cos^2(y)}=\sqrt{1-\sin^2(y)}=\sqrt{1-x^2}$...)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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