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Logarithmus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:08 Mo 07.01.2008
Autor: Mirage.Mirror

Aufgabe
a)

Berechnen Sie für beliebiges [mm] n\in\IN [/mm] :
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \log(x)*x^{n} [/mm] .

b)

Es seien a, b > 0, a, b [mm] \not=1. [/mm] Zeigen Sie für x > 0:
[mm] \log_{a}x=\bruch{\log_{b}x}{\log_{b}a} [/mm]
.

zu a)

Wenn x gegen 0 geht, dann müsste doch als Grenzwert wegen 0 multipliziert mit irgendetwas beliebigen 0, also log(0)? Oder muss ich hier anders vorgehen?


zu b)

[mm] \bruch{\log_{b}x}{\log_{b}a}=\log_{b}x-\log_{b}a [/mm]
soweit ist es ja noch einfach, aber wie muss ich hier weiterrechnen, um die Voraussetzung zu zeigen?


Über Hilfe und Tipps wäre ich dankbar.

        
Bezug
Logarithmus: Aufgabe a.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:54 Mo 07.01.2008
Autor: Roadrunner

Hallo Mirage.Mirror!


Forme um wie folgt und wende anschließend MBde l'Hospital an:

[mm] $$\limes_{x\rightarrow 0}\left[x^n*\log(x)\right] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\log(x)}{\bruch{1}{x^n}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\log(x)}{x^{-n}}$$ [/mm]

Gruß vom
Roadrunner


Bezug
        
Bezug
Logarithmus: zu b.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:33 Mo 07.01.2008
Autor: M.Rex

Hallo


> zu b)
>  
> [mm]\bruch{\log_{b}x}{\log_{b}a}=\log_{b}x-\log_{b}a[/mm]

Das passt so nicht.
Laut Logarithmengesetzen gilt:
[mm] log_{b}\bruch{x}{y}=log_{b}x-log_{b}y [/mm]

Hier steht aber:
[mm] \bruch{\log_{b}x}{\log_{b}a} [/mm]

Zum Beweis:

Definiere dir mal ein c mit [mm] log_{a}(x)=c \gdw x=a^{c} [/mm]

Also wird

[mm] \bruch{\log_{b}x}{\log_{b}a} [/mm]
[mm] =\bruch{\log_{b}(a^{c})}{\log_{b}a} [/mm]
[mm] =\bruch{c*\log_{b}a}{\log_{b}a} [/mm]
=c
[mm] =log_{a}(x) [/mm] (Per Definition)

Marius

Bezug
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