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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 So 11.03.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Funktion f(x) = x/(ln(x)) auf [mm] \IR
[/mm]
Gefragt: [mm] lim_{x -> 1-} [/mm] f(x)
[mm] lim_{x -> 1+} [/mm] f(x) |
f(1) = [mm] \frac{1}{ln(1)} [/mm] => undefiniert, da Division durch 0
Wie reche ich nun den links- bzw. rechtsseitigen Grenzwert am besten aus? bzw. wie bestimme ich überhaupt ob diese existieren?
linksseitiger Grenzwert
1/n < 1 für n >1
f(1/n) = [mm] \frac{1/n}{ ln(1/n)} [/mm]
[mm] lim_{x -> 1-} \frac{1/n}{ ln(1/n)} [/mm] =?
Ich dividiere da ja noch immer gegen 0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 So 11.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
was du mit 1/n machst ist unsinnig, das wäre ja li, x gegen 0
wenn musst du für x gegen 1-
$ [mm] lim_{x -> 1-} [/mm] $ f(x) [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}f(1-1/n)
[/mm]
also [mm] \bruch{1-1/n}{ln(1-1/n)}
[/mm]
dabei gilt ln(1-1/n)<0 1-1/n>0 und damit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(1-1/n)=-\infty
[/mm]
genauer kannst du mit ln(1-1/n)<-1/n argumentieren und zeigen dass es zu jedem -N ein n gibt, so dass [mm] \bruch{1-1/n}{ln(1-1/n)}<-N
[/mm]
entsprechend dann mit 1+1/n
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 So 11.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo, vielen Dank
> genauer kannst du mit ln(1-1/n)<-1/n argumentieren
Du meinst ln(1- 1/n) < 1 - 1/n
<=>
1-1/n < [mm] e^{1-1/n}
[/mm]
1- 1/n - [mm] e^{1-1/n} [/mm] <0
Die Exponentalfunktion wächst doch immer schneller als ihr Argument oder nichT? Wie kann man das den noch anders ausrechnen?
> entsprechend dann mit 1+1/n
[mm] lim_{x->1+} [/mm] f(x) = [mm] lim_{n->\infty} [/mm] f(1+1/n)
[mm] \frac{1+1/n}{ln(1+1/n)}
[/mm]
1+1/n >0
ln(1+1/n) >0
[mm] lim_{n->\infty} [/mm] f(1+1/n) = [mm] \infty
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 So 11.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein ich argumentiere mit der Tangente von lnx y=x-1 bei x=1 und die ln fkt bleibt unter der Tangente. (oder Taylor)
Du meinst ln(1- 1/n) < 1 - 1/n
wenn ich das geschrieben habe ist es falsch bzw nutzlos , ln(1-1/n)<-1/n ln(1+x)<x)
deine Abschätzung ist nichts wert.
du hast [mm] \bruch{1-1/n}{ln(1-1/n)}<\bruch{1-1/n}{-1/n}=-n+1<-N [/mm] für n>N+1
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:27 Mo 12.03.2012 | | Autor: | quasimo |
ah okay ;)
ln(1-1/n)<-1/n führst du auf ln(1+x) < x zurück
> Nein ich argumentiere mit der Tangente von lnx y=x-1 bei x=1 und die ln fkt bleibt unter der Tangente. (oder Taylor)
Was bedeutet lnx y=x-1 ?
Und woher weiß man, dass der Ln unter der Tangente bleibt??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 Mo 12.03.2012 | | Autor: | leduart |
HalloAusschnitte von sätzen machen nie viel sinn ich schrig:
ein ich argumentiere mit der Tangente von lnx bei x=1:
y=x-1
also fehlt nur ein satzzeichen.
wie ist ln(x<) definiert? über die Reihe, dann sie die an.
als Unkehrfkt zu exp(x) dann sieh dass die überhalb der Tangente bei 0: y=x+1 liegt oder nimm die Taylorreihe von ln(x+1) um x=0 oder was immer du weisst. (ln(x)''<0 oder sinst was.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Mo 12.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
Mir wäre sehr geholfen, wenn du ein klein wenig leserlicher schreiben könntest.
Taylorreihe haben wir noch nicht gemacht.
Aber so wie am Anfang kann man es auch belassen oder? Oder reicht das nicht als ANtwort
> $ [mm] lim_{x -> 1-} [/mm] $ f(x) $ [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}f(1-1/n) [/mm] $
> also $ [mm] \bruch{1-1/n}{ln(1-1/n)} [/mm] $
> dabei gilt ln(1-1/n)<0 1-1/n>0 und damit $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(1-1/n)=-\infty [/mm] $
und
> $ [mm] lim_{x->1+} [/mm] $ f(x) = $ [mm] lim_{n->\infty} [/mm] $ f(1+1/n)
> $ [mm] \frac{1+1/n}{ln(1+1/n)} [/mm] $
> 1+1/n >0
> ln(1+1/n) >0
> $ [mm] lim_{n->\infty} [/mm] $ f(1+1/n) = $ [mm] \infty [/mm] $
Und..
> wenn ich das geschrieben habe ist es falsch bzw nutzlos , > ln(1-1/n)<-1/n ln(1+x)<x)
> deine Abschätzung ist nichts wert.
> du hast $ [mm] \bruch{1-1/n}{ln(1-1/n)}<\bruch{1-1/n}{-1/n}=-n+1<-N [/mm] $ für n>N+1
Das ist für mich etwas widersprüchlich.
Einmal haben wir die Abschätzung ln(1-1/n)<-1/n
Das dreht sich doch dann um wenn das im nenner steht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Mo 12.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
fred hat dir doch nen kürzeren weg gezeigt. dann muss ich nicht mehr viel schreiben 
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Mo 12.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Trotzdem sind die obigen Fragen nicht geklärt!!
Aber stimmt jetzt als Antwort auch der letzte Beitrag?Also reichts das aus als ANtwort?
Funktion f(x) = x/(ln(x)) auf $ [mm] \IR [/mm] $
Gefragt: $ [mm] lim_{x -> 1-} [/mm] $ f(x)
$ [mm] lim_{x -> 1+} [/mm] $ f(x)
Aber so wie am Anfang kann man es auch belassen oder? Oder reicht das nicht als ANtwort
> $ [mm] lim_{x -> 1-} [/mm] $ f(x) $ [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}f(1-1/n) [/mm] $
> also $ [mm] \bruch{1-1/n}{ln(1-1/n)} [/mm] $
> dabei gilt ln(1-1/n)<0 1-1/n>0 und damit $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(1-1/n)=-\infty [/mm] $
und
> $ [mm] lim_{x->1+} [/mm] $ f(x) = $ [mm] lim_{n->\infty} [/mm] $ f(1+1/n)
> $ [mm] \frac{1+1/n}{ln(1+1/n)} [/mm] $
> 1+1/n >0
> ln(1+1/n) >0
> $ [mm] lim_{n->\infty} [/mm] $ f(1+1/n) = $ [mm] \infty [/mm] $
Und was ist mit dem Widerspruch? Wo ich die Logik nicht erkenne ? (letzte Beitrag von mir)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Mo 12.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hattest recht:
$ [mm] \bruch{1-1/n}{ln(1-1/n)}<\bruch{1-1/n}{-1/n}=-n+1<-N [/mm] $
ist so falsch
richtig ist
$ [mm] |\bruch{1-1/n}{ln(1-1/n)}|<\bruch{1-1/n}{1/n}=n-1
und [mm] \bruch{1-1/n}{ln(1-1/n)}<0
[/mm]
der andere Weg ist nicht falsch, aber unpräzise
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 Mo 12.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo zusammen,
> Hallo
> du hattest recht:
> [mm]\bruch{1-1/n}{ln(1-1/n)}<\bruch{1-1/n}{-1/n}=-n+1<-N[/mm]
> ist so falsch
> richtig ist
> [mm]|\bruch{1-1/n}{ln(1-1/n)}|<\bruch{1-1/n}{1/n}=n-1
> und [mm]\bruch{1-1/n}{ln(1-1/n)}<0[/mm]
> der andere Weg ist nicht falsch, aber unpräzise
ist nicht böse gemeint, aber der Weg hier mit einer speziellen Folge ist, ohne Zusatzüberlegungen angestellt und ergänzt zu haben, immer unpräzise - sagen wir vielleicht besser: Unvollständig!
Man kann mit "einer speziellen Folge" argumentieren, wenn man die Existenz des Grenzwertes gesichert (das heißt begründet/nachgewiesen/bewiesen) hat. Das, was ihr hier macht, zeigt alleine halt sehr wenig...
(Natürlich kann es auch Sinn machen, erstmal mit einer speziellen Folge "konkret" den (dann einzigen) Grenzwertkandidaten auszurechnen, um dann mit diesem nachher auch zu zeigen, dass es auch wirklich der (betrachtete) Funktionsgrenzwert ist! Aber das hättet ihr dann auch noch zu tun!)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Mo 12.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Mit t:=ln(x) ist
$ [mm] \bruch{x}{ln(x)}= \bruch{e^t}{t}= \bruch{1}{t}(1+t+\bruch{t^2}{2!}+...)=\bruch{1}{t}+g(t)$ [/mm] , wobei g stetig in t=0 und g(0) =1
Damit ist
[mm] $\limes_{x\rightarrow 1 \pm} \bruch{x}{ln(x)}= \limes_{t\rightarrow 0 \pm}(\bruch{1}{t}+g(t))$ [/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 Di 13.03.2012 | | Autor: | quasimo |
ich danke dir Fred und allen ;)
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Mo 12.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Funktion f(x) = x/(ln(x)) auf [mm]\IR[/mm]
> Gefragt: [mm]lim_{x -> 1-}[/mm] f(x)
> [mm]lim_{x -> 1+}[/mm] f(x)
> f(1) = [mm]\frac{1}{ln(1)}[/mm] => undefiniert, da Division durch
> 0
mal nebenbei:
Wenn Du mit einer speziellen Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit [mm] $x_n \to [/mm] 1-$ (d.h. $1 > [mm] x_n \to [/mm] 1$) nun [mm] $G:=\lim_{n \to \infty}f(x_n)$ [/mm] berechnen kannst, so ist das nicht zwangsläufig [mm] $=\lim_{x \to 1-}f(x)\,,$ [/mm] sondern "NUR EIN (und dann der einzige) KANDIDAT FÜR [mm] $\lim_{x \to 1-}f(x)\,.$"
[/mm]
Dass dieser Grenzwert [mm] $G\,$ [/mm] dann wirklich auch [mm] $G=\lim_{x \to 1-}f(x)$ [/mm] erfüllt, weißt Du erst, wenn Du überhaupt die Existenz von [mm] $\lim_{x \to 1-}f(x)$ [/mm] begründet/bewiesen hast!
Mach' Dir das unbedingt klar, etwa mit [mm] $f(x):=\sin(1/x)$ [/mm] ($x [mm] \not=0$). [/mm] Hier existiert [mm] $\lim_{x \to 0-}f(x)$ [/mm] nicht, aber mit [mm] $x_n:=-\;\frac{1}{n*2*\pi}$...
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:26 Di 13.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Okay und wie überprüft man die Existenz des links oder rechtsseitigen Grenzwertes?
Potenzielle kandidaten hätte wir ja nunmal.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Di 13.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay und wie überprüft man die Existenz des links oder
> rechtsseitigen Grenzwertes?
> Potenzielle kandidaten hätte wir ja nunmal.
wenn Du etwa für [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit [mm] $x_n:=1-1/(n+1)$ [/mm] nun [mm] $\lim_{n \to \infty}f(x_n)$ [/mm] berechnet hast, sagen wir etwa [mm] $G:=\lim_{n \to \infty}f(x_n)\,,$ [/mm] so musst Du nun zeigen:
Ist [mm] $(r_n)_n$ [/mm] irgendeine Folge im Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] mit $1 > [mm] r_n \to 1\,,$ [/mm] so folgt [mm] $f(r_n) \to G\,.$
[/mm]
Aber mit Freds Argumenten erspart man sich das hier alles!
Gruß,
Marcel
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