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| Aufgabe | Die Funktion
[mm] (\bruch{1}{3})^{lg(x)}-12*3^{lg(x)}+1=0
[/mm]
hat die reelle Lösung x1.
Bestimmen Sie die ganze Zahl a , für die gilt: a=60x . |
[mm] \bruch{1^{lg(x)}}{3^{lg(x)}}-12*3^{lg(x)}+1=0 [/mm] // [mm] *3^{lg(x)}
[/mm]
[mm] -12*(3^{lg(x)})^2+3^{lg(x)}+1^{lg(x)}=0
[/mm]
So habe ich erstmal gerechnet und komme da aber nicht weiter ....
Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus!!! 
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Hallo Martin!
Substituiere nun $u \ := \ [mm] 3^{\lg(x)}$ [/mm] ; damit erhältst Du eine quadratische Gleichung.
Bedenke auch, dass gilt: [mm] $1^{\log(x)} [/mm] \ = \ 1$ .
Gruß vom
Roadrunner
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Okay, vielen Dank soweit erstmal! :)
Ich habe nun folgendermaßen weiter gerechnet:
[mm] -12\cdot{}(3^{lg(x)})^2+3^{lg(x)}+1^{lg(x)}=0
[/mm]
Substitution: [mm] 3^{lg(x)}=y
[/mm]
[mm] -12y^2+y+1=0 [/mm] // :(-12)
[mm] y^2-\bruch{1}{12}*y-\bruch{1}{12}=0
[/mm]
[mm] y_{1,2}=\bruch{1}{2*12}\pm\wurzel{(\bruch{1}{2*12})^2+\bruch{1}{2*12})}
[/mm]
[mm] y_{1,2}=\bruch{1}{24}\pm\wurzel{(\bruch{1}{24})^2+\bruch{1}{12})}
[/mm]
[mm] y_{1,2}=\bruch{1}{24}\pm\wurzel{(\bruch{1}{576})+\bruch{1}{12})}
[/mm]
[mm] y_{1,2}=\bruch{1}{24}\pm\wurzel{(\bruch{1}{576})+\bruch{24}{576})}
[/mm]
[mm] y_{1,2}=\bruch{1}{24}\pm\bruch{5}{24}
[/mm]
[mm] y_{1}=\bruch{6}{24} y_{2}=-\bruch{4}{24}
[/mm]
Resubstitution:
[mm] 3^{lg(x)}=\bruch{6}{24} 3^{lg(x)}=-\bruch{4}{24}
[/mm]
Und an der Stelle komme ich nicht weiter .....
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Hallo Martin,
das ist soweit komplett richtig gerechnet; am Ende könnte man noch kürzen.
Du hast also zwei mögliche Lösungen:
1) [mm] 3^{lg(x_1)}=\bruch{6}{24}=\bruch{1}{4} [/mm]
2) [mm] 3^{lg(x_2)}=-\bruch{4}{24}=-\bruch{1}{6}
[/mm]
Nehmen wir Gleichung 1) als Beispiel. Um sie aufzulösen, muss man logarithmieren... Ich nehme mal den natürlichen Logarithmus, aber es geht auch zu jeder anderen Basis (die positiv und [mm] \not=1 [/mm] ist).
[mm] \Rightarrow\quad \lg{x_1}*\ln{3}=\ln{\left(\bruch{1}{4}\right)}=-\ln{4}\quad \Rightarrow\quad \lg{x_1}=-\bruch{\ln{4}}{\ln{3}}
[/mm]
Tja, und jetzt müsste ich wissen, ob ihr "lg" für den dekadischen Logarithmus (üblicherweise "log") schreibt, oder für den natürlichen (üblicherweise "ln"). Ich vermute wohl letzteres; jedenfalls war das an meiner Maschinenbau-Uni gebräuchlich. Also?
Grüße
reverend
PS: Die zweite Gleichung ist nicht analog zu lösen. Weißt Du warum?
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