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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:00 Do 09.04.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Geben Sie die reele Lösungsmenge an
ln(x²-9) - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln(x²+6x+9) = 1 |
Hallo Zusammen,
den Term kann man wie folgt auslösen:
ln(x²-9) - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln(x²+6x+9) = 1
ln[(x-3)(x+3)] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln[(x-3)(x-3)] = 1
ln(x-3) + ln(x+3) - [mm] \bruch{[ln(x-3) + ln(x-3)]}{2} [/mm] = 1
[mm] \bruch{2 ln(x-3)+2 ln(x+3)}{2} [/mm] - [mm] \bruch{ln(x-3) - ln(x-3)}{2} [/mm] = 1
[mm] \bruch{2 ln(x-3)+2 ln(x+3) - ln(x-3) - ln(x-3)}{2} [/mm] = 1
[mm] \bruch{2 ln(x+3)}{2} [/mm] = 1
ln(x+3) = 1
[mm] e^{ln(x+3)} [/mm] = [mm] e^1
[/mm]
x+3 = e -> x = e - 3
Wenn ich dies jedoch in den Ausgangsterm einsetze, erhalte ich keine Lösung, da ln(x²-9) negativ wird. Was habe ich denn falsch gemacht?
Vielen Dank
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 Do 09.04.2009 | | Autor: | glie |
Hallo,
> Geben Sie die reele Lösungsmenge an
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> ln(x²-9) - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ln(x²+6x+9) = 1
> Hallo Zusammen,
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> den Term kann man wie folgt auslösen:
>
> ln(x²-9) - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ln(x²+6x+9) = 1
> ln[(x-3)(x+3)] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ln[(x-3)(x-3)] = 1
Hier stimmts nicht: [mm] (x^2+6x+9)=(x\red{+}3)^2
[/mm]
>
> ln(x-3) + ln(x+3) - [mm]\bruch{[ln(x-3) + ln(x-3)]}{2}[/mm] = 1
>
> [mm]\bruch{2 ln(x-3)+2 ln(x+3)}{2}[/mm] - [mm]\bruch{ln(x-3) - ln(x-3)}{2}[/mm]
> = 1
>
> [mm]\bruch{2 ln(x-3)+2 ln(x+3) - ln(x-3) - ln(x-3)}{2}[/mm] = 1
>
> [mm]\bruch{2 ln(x+3)}{2}[/mm] = 1
>
> ln(x+3) = 1
>
> [mm]e^{ln(x+3)}[/mm] = [mm]e^1[/mm]
>
> x+3 = e -> x = e - 3
>
> Wenn ich dies jedoch in den Ausgangsterm einsetze, erhalte
> ich keine Lösung, da ln(x²-9) negativ wird. Was habe ich
> denn falsch gemacht?
Rechne nochmal mit meiner Verbesserung von oben nach.
Und beachte etwas ganz wichtiges:
Eine Gleichung hat eine DEFINITIONSMENGE!!
Hier musst du beachten, dass die Argumente der Logarithmen positiv sein müssen.
Es muss also gelten [mm] x^2-9>0
[/mm]
Fur welche x-Werte gilt das?
Und es muss gelten [mm] x^2+6x+9>0
[/mm]
Für welche x-Werte gilt das?
Was ist dann die Definitionsmenge?
Eine von dir bestimmte Lösung der Gleichung muss auf jeden Fall in der Definitionsmenge enthalten sein. Das musst du auch auf jeden Fall überprüfen.
Gruß Glie
>
> Vielen Dank
> itse
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