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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Mi 03.10.2012 | | Autor: | Wertzu |
| Aufgabe | Lösen Sie die folgende Gleichung
[mm] 2^{3^x}=3^{2^x}
[/mm]
L = { 1,1358826 } |
Ich wollte meine Lagarithmenkenntnisse aufbessern und rechne deshalb diverse Übungsaufgaben. Bei dieser Aufgabe bekomme ich nach verschiedenen Ansätzen immer ein falsches Ergebnis.
Bei den Aufgaben davor konnte man mit Hilfe der Logarithmengesetze alles lösen. Auf welche Gesetzte sollte ich den besonders achten? Hat jemand einen Tipp?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 21:44 Mi 03.10.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du beide Seiten durch $ [mm] 3^{2^x} [/mm] $ dividierst, bekommst du:
$ [mm] \frac{2^{3^x}}{3^{2^x}}=1 [/mm] $
Nun kannst du mit den Potenzgesetzen umformen
[mm] \left(\frac{2^3}{3^{2}}\right)^{x}=1
[/mm]
Nun wieder du.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:49 Do 04.10.2012 | | Autor: | Wertzu |
$ [mm] \left(\frac{2^3}{3^{2}}\right)^{x}=1 [/mm] $
Ich habe die Gleichung weiter vereinfacht.
$ [mm] \left(\frac{8}{9}\right)^{x}=1 [/mm] $
Dann den log von [mm] \bruch{8}{9} [/mm] auf beiden Seiten angewand.
Da das x ja eine Potenz ist, habe ich Sie aus dem log genommen.
(Ich habe hier leider keine Möglichkeit gefunden dies gut darzustellen.)
x*log von [mm] \bruch{8}{9} [/mm] ($ [mm] \left(\frac{8}{9}\right)^{x}$)= [/mm] log von [mm] \bruch{8}{9}(1) [/mm]
Auf der linken Seite wird der log zu 1 und somit bleibt x alleine über.
Die rechte Seite kann ich nicht ausrechnen, desgalb forme ich den Term in den dekadischen logarithmus lg um.
x = [mm] \bruch{lg(1)}{lg(\bruch{8}{9})}
[/mm]
Da lg(1)=0 ist komme ich zu keinem Ergebnis.
Was habe ich falsch gemacht?
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Hallo,
der Tipp von Marius war falsch. Er hat sich vermutlich verlesen.
Eine Zahl der Form
[mm] a^{b^c}
[/mm]
nennt man auch einen Potenzturm. Dieser ist per definitionem von oben nach unten abzuarbeiten. Also ist bspw.
[mm] 2^{3^4}=2^{81}
[/mm]
und eben nicht gleich [mm] 8^4.
[/mm]
Daher funktioniert das mit dem Potenzgesetz nicht. Man muss die Gleichung durch zweimaliges Logarithmieren lösen. Ich erhalte dabei die angegebene Lösung, die exakt so aussehen sollte:
[mm] x=\bruch{ln\left(\bruch{ln(3)}{ln(2)}\right)}{ln(3)-ln(2)}
[/mm]
EDIT:
Gerade sehe ich auch noch eine weitere Antwort von franzzink. Er hat dir den Anfang der richtigen Rechnung gleich mal aufgeschrieben.
Gruß, Diophant
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 10:07 Do 04.10.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marius,
> Hallo
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> Wenn du beide Seiten durch [mm]3^{2^x}[/mm] dividierst, bekommst
> du:
>
> [mm]\frac{2^{3^x}}{3^{2^x}}=1[/mm]
>
> Nun kannst du mit den Potenzgesetzen umformen
>
> [mm]\left(\frac{2^3}{3^{2}}\right)^{x}=1[/mm]
das ist hier falsch, es ist ja bspw.
[mm] 2^{3^x}=2^{\left(3^x\right)}
[/mm]
wie ich weiter unten auch ausgeführt habe.
Gruß, Diophant
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Hallo,
> Lösen Sie die folgende Gleichung
> [mm]2^{3^x}=3^{2^x}[/mm]
ich interpretiere die Aufgabenstellung als:
[mm] 2^{(3^x)}=3^{(2^x)}[/mm]
Damit ergibt sich:
[mm] 2^{(3^x)}=3^{(2^x)}\qquad |\ ln(...)[/mm]
[mm] ln(2^{(3^x)})=ln(3^{(2^x)})[/mm]
[mm] 3^x * \ln 2=2^x * \ln 3[/mm]
So und ab jetzt wieder du... 
Schöne Grüße
franzzink
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