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| Aufgabe | | Seien A, B, C beliebige Mengen. Beweise, dass wenn sowohl A [mm] \cap [/mm] B = A [mm] \cap [/mm] C als auch A [mm] \cup [/mm] B = A [mm] \cup [/mm] C gilt, B = C sein muss. |
Mein Beweis baut auf dem logischen Kontrapositiv auf, wonach die Aufgabe (P [mm] \wedge [/mm] Q) [mm] \Rightarrow [/mm] R zu [mm] (\neg [/mm] R) [mm] \Rightarrow [/mm] ( [mm] \neg [/mm] P) [mm] \vee (\neg [/mm] Q) negiert wird.
Beweis:
Sei B [mm] \not= [/mm] C, dann ist ein beliebiges x [mm] \in [/mm] B aber x [mm] \not\in [/mm] C. Wenn x [mm] \in [/mm] B ist x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B); weil x [mm] \not\in [/mm] C ist x [mm] \not\in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C). Also ist (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \not= [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C).
Kann man den Beweis hier abbrechen, da die Bedingungung [mm] (\neg [/mm] P) [mm] \vee (\neg [/mm] Q) besagt, dass entweder [mm] (\neg [/mm] P) ODER [mm] (\neg [/mm] Q) erfüllt sein muss. wir haben [mm] (\neg [/mm] P) bewiesen, was dazu führt, dass [mm] (\neg P)\vee (\neg [/mm] Q) unabhängig von [mm] (\neg [/mm] Q) wahr ist, oder?
Oder muss man der Ordnung halber auch [mm] (\neg [/mm] Q) als wahr beweisen?
Möchte mir in Zukunft Arbeit sparen, aber es dann auch den Konventionen gemäss machen.
Merci für eure Hilfe.
Cassiopaya
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Halli Cassi,
wenn du allgemein zeigen würdest, dass [mm] \neg{P} [/mm] gilt, brauchst du [mm] \neg{Q} [/mm] nicht mehr zu zeigen.
Manchmal geht es auch gar nicht, nehmen wir die Kontraposition von:
[mm]1=1 \wedge x=2 \Longrightarrow 1+x=3 [/mm]
Die lautet ja:
[mm]1+x\not=3 \Longrightarrow 1\not=1 \vee x\not=2[/mm]
Und natürlich wirst du NIE [mm]1\not=1[/mm] zeigen können....
Aber nun zu deinem Beweis, der leider unvollständig ist:
> Sei [mm]B \not= C[/mm], dann ist ein beliebiges [mm]x \in B[/mm] aber [mm]x \not\in C[/mm].
Woher weisst du das, was ist mit [mm]B \subseteq C[/mm] ?
> weil [mm]x \not\in C[/mm] ist [mm]x \not\in (A \cup C)[/mm].
Warum? Selbst wenn nicht zwangsweise [mm]B \subseteq C[/mm] gilt, stimmt diese Aussage definitiv nicht für [mm]B \subseteq A[/mm].
Ich würde da viel trivialer rangehen, als mit einem grossen Beweis, bspw mit simplen Umformungen:
Es gilt: [mm]B = (B\setminus A) \cup (A\cap B) = ((A \cup B)\setminus A) \cup (A\cap B) =[/mm]..... naja, den Rest bekommst bestimmt auch alleine hin, nu stehts ja fast schon da....
MFG,
Gono.
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