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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 So 26.06.2005 | | Autor: | The_Wu |
Hi Leute!
Ich schreibe gerade eine Facharbeit über Logistisches Wachstum.
Dabei hab ich mich unter anderem auf der Seite http://sites.inka.de/picasso/Notheis/Herleitung.htm über die Herleitung der Formel für das Wachstum informiert.
Nun stellt sich mir folgende Frage, die ich ohne eure Hilfe nicht beantworten kann:
Woher kommt das t+c beim logarihmieren der Gleichung?
[mm] \bruch{1}{G} [/mm] ln f(t)- [mm] \bruch{1}{G} [/mm] ln G-f(t) = k*t+c
Es wäre sehr cool wenn ihr mir diese Frage noch heute beantworten könntet, da ich morgen Abgabetermin habe :).
Vielen Dank
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Hallo.
Das +c kommt nicht vom "logarithmieren" dieser Gleichung.
Vielmehr werden beide Seiten integriert, das bedeutet, Du suchst eine Stammfunktion für beide Seiten, das heißt, eine Funktion, die beim Ableiten wieder die ursprüngliche ergibt.
Ein Beispiel:
Für [mm] f(x):=x^2 [/mm] ist die Funktion [mm] F(x)=\frac{1}{3}x^3 [/mm] eine Stammfunktion, denn beim Ableiten kommt wieder [mm] x^2 [/mm] raus.
Genauso kommt aber auch für [mm] F(x)=\frac{1}{3}x^3+3572 [/mm] wieder [mm] x^2 [/mm] raus.
So kommt eben die Konstante c zustande.
Wenn Du die Gleichung am Ende nach t ableitest, sollte also wiederum die Gleichung aus der Zeile davor rauskommen.
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 So 26.06.2005 | | Autor: | The_Wu |
ja aber mein Problem is irgendwie das das t+c vorher nicht da war und jetz auf einmal da ist!
wo kommt das denn her?
kann man das da einfach hinschreiben oder wie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 So 26.06.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo Wu!
Eigentlich hat dir Christian schon den richtigen Hinweis gegeben!
Du hast doch im Verlauf der Herleitung auf der rechten Seite das unbestimmte Integral:
[mm] k*\integral{dt}
[/mm]
Auflösen ergibt:
[mm] k*\integral{dt}=k*t
[/mm]
Und wie es bei unbestimmten Integralen so üblich ist, mußt du noch die Integrationkonstante "C" addieren!
Also:
[mm] k*\integral{dt}=k*t+c
[/mm]
Viele Grüße
Fabian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Mo 27.06.2005 | | Autor: | The_Wu |
ah jetz hab ich es verstanden, danke @ Fabian
aber ich hab noch andere Fragen:
Die Differentialgleichung für exponentielles, beschränktes und logistisches
Wachstum sind ja f´(t)= f(t) * k , f'(t)= (G-(f(t)) * k und
f'(t)= (G-f(t)) * k * f(t).
Meine Fragen:
Wie kommt man auf die Differentialgleichungen?
Wofür steht das f'(t)?
Was ist k? (Ich weiß das das der Proportionalitätsfaktor ist, aber ich weiß nicht was das bedeutet)
Das wärs erstma wieder :)
Danke schon mal für die Antworten!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Di 28.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du selbst hast doch die Quelle angegeben in dem das recht genau erklärt wird. Du musst genauer fragen, was du daran nicht verstanden hast, sonst kriegst du dasselbe noch mal erklärt.
Also deine Quelle noch mal genau durchlesen und dazu Fragen stellen. Da alles darauf aufbaut musst du bei exponentiellem wachstum anfangen.
Du musst für ein Referat schon was selber arbeiten, wir dürfen dir nur genaue fragen beantworten.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Di 28.06.2005 | | Autor: | The_Wu |
Hi,
Ich hab ja schon 12 Seiten zu dem Thema geschrieben, jedoch hab ich noch Verständnisprobleme.
Ich weiß ja das die Differentialgleichung die Wachstumsrate angibt, jedoch verstehe ich nicht wo k herkommt, also wie man darauf kommt, bzw was es angibst. Das ist eigentlich mein Hauptproblem. Falls jetzt etwas an meiner Erklärung der Differentialgleichung falsch ist, sagt es mir bitte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Di 28.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du dir eine Zuwachsrate nicht vorstellen kannst: denk erst mal in ganzen Zeitschritten: der Zuwachs deines Kapitals auf der Bank ist umso größer, je größer dein Kapital ist! also Ertrag pro Jahr = Zuwachs pro Jahr ist bei 3% Zinsen K*0,03 d.h. die Änderung pro Jahr :
[mm] \bruch{\Delta K}{\Delta t}=0,03*K. [/mm] (Zeit in Jahren) Wenn du es mit Monaten ausrechnest dann :
[mm] \bruch{\Delta K}{\Delta t}=0,03/12*K. [/mm] (Zeit in Monaten)
mit [mm] \bruch{\Delta K}{\Delta t} \approx [/mm] K' hast du dann K'/K [mm] =0,03*\bruch{1}{y} [/mm] (y=year=jahr)
meist gibt man k aber in [mm] \bruch{1}{s} [/mm] an
Bei Kapital macht es wohl keinen Sinn Jahreszinsen in Sekundenszinsen umzurechnen. Aber du kannst dir einen Börsenspekulanten vorstellen der pro Min sein Kapital um 0,1% vermehrt, und dann ausrechnen, was er in einem Jahr hat, aber auch was erin einer sek hat, wenn du annimmst, es sei kontinuierlich!
Wenn du die Zeiteinheit festgelegt hast, kannst du den Zuwachs pro Zeiteinheit berechnen. dann geht man zum kontinuierlichen fall über (Grenzwert) d.h. du siehst an [mm] \limes_{\Delta t\rightarrow\0}\bruch{\Delta K}{\Delta t} \approx 0,001/60*\bruch{1}{s} [/mm] (für den Börsenmensch)
Messbar ist immer nur der Zuwachs in einer endlichen Zeit, etwa Bakterien verdoppeln sich in einer Stunde. Dann nehm ich an der Zuwachs ist kontinuierlich. f(t)= Menge der Bakterien zur Zeit t
f(0)= Menge der Bakterien am Anfang des Experiments f(3600s) =2*f(0) aus dem Experiment.
daraus mit [mm] f(t)=f(0)*e^{kt}: [/mm] und 3600s eingesetzt folgt f(3600s) [mm] =2*f(0)=f(0)*e^{k*3600s}.
[/mm]
daraus berechne ich [mm] 2=e^{k*3600s}==> [/mm] ln2=k*3600s ==> k=ln2/(3600s).
Umgekehrt kann man dann, wenn man k kennt, die Verdopplungszeit aus ln2/k berechnen.
Natürlich kannst du k auch berechnen, wenn du den Zuwachs in sehr kleinen Zeiten kennst.
f(t) ist immer das was Wächst es kann das Kapital sein dann schreibt man besser K(t), eine Bevölkerungszahl, ein Volumen etc. Wenn k negativ ist bedeutet es, dass f(t) abnimmt, aber wieder ist die Abnahme proportional zu dem was grade da ist. typisch für neg k ist radioaktiver Zerfall, Höhe von Bierschaum, Geschwindigkeitsabnahme bei Reibung in Luft.
War das deine Frage? Lies das gut durch, und stell dann evt. genauere Fragen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Di 28.06.2005 | | Autor: | The_Wu |
hmm, das hab ich eigentlich schon verstanden, jedoch ist mein problem irgendwie anderer Natur, ich versuche es mal anders darzustellen:
Ich stehe an der Tafel und gebe die Differentialgleichung für exponentielles Wachstum an ( f`(t) = f(t) * k ). Dann fragt mich der Lehrer was denn f`(t) ist, bzw. wofür die einzelnen Faktoren darin stehen und was das aussagt. das ist eigentlich mein problem, eine kurze erklärung dafür.
Ich weiß das die differentialgleichung (die erste Ableitung) für den Zuwachs steht, aber ich muss erklären warum f(t) * k diesen erklären....
Mfg
The_Wu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Di 28.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ich stehe an der Tafel und gebe die Differentialgleichung
> für exponentielles Wachstum an ( f'(t) = f(t) * k ). Dann
> fragt mich der Lehrer was denn f'(t) ist, bzw. wofür die
> einzelnen Faktoren darin stehen und was das aussagt. das
> ist eigentlich mein problem, eine kurze erklärung dafür.
Du solltest nicht einfach f' hinschreiben, sondern direkt eine Funktion die Sinn macht. sag also z.Bsp.:
die Zahl der Bakterien B in einer Kultur wächst proportional zu der gerade vorhandenen Menge. d.h. die Anderung von B pro Zeit B'(t) ist proportional zu B(t). die Proportionalitätskonstante bezeichne ich mit k.
Anders ausgedrückt ist die Wachstumsrate B'(t)/B(t) konstant. Mit Wachstumsrate bezeichnet man auch den relativen Zuwachs. wenn k klein ist, bedeutet es einen kleinen Zuwachs pro Zeiteinheit. k=0,01 etwa bedeutet eine Wachstumsrate von 1%
> Ich weiß das die differentialgleichung (die erste
> Ableitung) für den Zuwachs steht, aber ich muss erklären
> warum f(t) * k diesen erklären....
Nochmal, wenn der Zuwachs selber konstant ist, also f'= konst dann hast du eine andere Sorte Wachstum. Beispiel du bekommst regelmässig Taschengeld und gist nichts aus. dann ist dein Kapital zur Zeit t bestimmt durch K'=const. aber dein Taschengeld wird ja auch nicht umso größer, je mehr du schon hast!
Nur bei Wachstum (oder Zerfall) ist der Zuwachs proportional der schon vorhandenen Menge. Wenn es in Deutschland und China dieselbe Wachstumsrate (Geburtenrate) gäbe, wäre der Zuwachs an Einwohnern in Deutschland klein, in China groß! der prozentuale Zuwachs wäre aber gleich.
Also gilt die Dgl nur für solche Fälle, nicht für jedes Wachstum. Und ob die Dgl. in der Wirklichkeit erfüllt ist kann man nur sagen, wenn man genaueres über den mechanismus weiss, oder längere zeit hinsieht.
Wenn du dein kapital auf der Bank mehrere Jahre beobachtest merkst du, dass der Zuwachs proportional dem vorhandenen Kapital ist, ohne irgendwas von Zinsen und Zinseszinsen zu wissen.
Die erklärung ist jetzt für deinen Lehrer zu lang, aber der Anfang sollte das sein, was du suchst.
Rein mathematisch: f'=k*f heisst gesucht ist eine Funktion f, deren Steigung an einer Stelle proportional dem Wert an der Stelle ist.d.h. Wert doppel heisst Steigung doppelt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:58 Di 28.06.2005 | | Autor: | The_Wu |
Okay, das ist es so ziemlich was ich hören wollte!
Vielen Dank Leduart!
Mfg
The_Wu> Hallo
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