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| Aufgabe | | Zu zeigen: Die Gleichung [mm] y^2+2*x*y=2*x-4*x^2 [/mm] für [mm] (x,y)\in\IR^2 [/mm] ohne {(0,0),(2/3,-2/3)} lokal eine implizite Funktion y(x) beschreibt und bestimmte ihre lokalen Extrema. |
Guten Tag!
Mir bereitet obige Aufgabe Probleme. Mir ist nicht klar, wie ich nachweisen kann, dass die Gleichung eine implizite Funktion beschreibt. Muss ich dafür bestimmte Kriterien nachweisen?
Da die lokal implizite Funktion laut Aufgabenstellung y(x) heißt, würde ich die Gleichung zuerst einmal nach y umformen - ist das sinnvoll?
Für die Bestimmung der Extrema würde ich zuerst mithilfe des Gradienten die kritischen Punkte der Funktion bestimmen und anschließend die Art der Extrema überprüfen - funktioniert das bei impliziten Funktionen auch so?
Über eine Hilfestellung wäre ich sehr dankbar!
Beste Grüße
mathe_thommy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Di 31.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Zu zeigen: Die Gleichung [mm]y^2+2*x*y=2*x-4*x^2[/mm] für
> [mm](x,y)\in\IR^2[/mm] ohne {(0,0),(2/3,-2/3)} lokal eine implizite
> Funktion y(x) beschreibt und bestimmte ihre lokalen
> Extrema.
> Guten Tag!
>
> Mir bereitet obige Aufgabe Probleme.
Mir auch !
Nachdem ich die Aufgabenstellung ein paarmal gelesen habe, bin ich zu folgendem Schluss gekommen:
Die Aufgabenstellung ist völliger Mist ! Jedenfalls, wenn man den Satz über implizit definierte Funktionen anwenden will.
Dazu setzen wir
$F(x,y):= [mm] y^2+2\cdot{}x\cdot{}y-2\cdot{}x-4\cdot{}x^2 [/mm] $
Jetzt müsste der Aufgabensteller [mm] x_0 [/mm] und [mm] y_0 [/mm] aus [mm] \IR [/mm] vorgeben und die Aufgabe wie folgt formulieren:
zeige: es gibt eine Umgebung U von [mm] x_0 [/mm] und eine beliebig oft differenzierbare Funktion $y:U [mm] \to \IR$ [/mm] mit den Eigenschaften
[mm] y(x_0)=y_0 [/mm] und F(x,y(x))=0 für alle x [mm] \in [/mm] U.
> Mir ist nicht klar,
> wie ich nachweisen kann, dass die Gleichung eine implizite
> Funktion beschreibt. Muss ich dafür bestimmte Kriterien
> nachweisen?
>
> Da die lokal implizite Funktion laut Aufgabenstellung y(x)
> heißt, würde ich die Gleichung zuerst einmal nach y
> umformen - ist das sinnvoll?
Ja, das kannst Du machen. Bei der bekloppten Aufgabenstellung fällt mir auch nichts anderes ein.
FRED
>
> Für die Bestimmung der Extrema würde ich zuerst mithilfe
> des Gradienten die kritischen Punkte der Funktion bestimmen
> und anschließend die Art der Extrema überprüfen -
> funktioniert das bei impliziten Funktionen auch so?
>
> Über eine Hilfestellung wäre ich sehr dankbar!
>
> Beste Grüße
> mathe_thommy
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Vielen Dank für die zeitnahe Antwort! Wenn auch Dir die Aufgabe Probleme bereitet, werde ich einfach die Rechnungen durchführen, die ich in meinem Beitrag genannt habe.
Ich melde mich, sobald ich mehr weiß, um möglicherweise Licht ins Dunkle zu bringen.
Beste Grüße und noch einen angenehmen Tag!
mathe_thommy
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