Lokale Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 So 13.05.2012 | | Autor: | Hanz |
Hey,
ich habe eine Frage und zwar habe ich die Funktion [mm] f(x,y)=x^3 [/mm] - [mm] 3xy^2 [/mm] + [mm] 3y^2 [/mm] gegeben und soll die lokalen Extrema bestimmen.
Die stationären Punkte lauten (0,0), (1,1) und (1,-1).
Die Hessematrix ist: [mm] H_f(x,y)=\pmat{ 6x & -6y \\ -6y & -6x }
[/mm]
Prüfe ich nun den Punkt (0,0) mit [mm] H_f(0,0) [/mm] bekomme ich ja die Nullmatrix heraus. Wie kann ich nun entscheiden, ob ein Max., Min. oder Sattelpunkt vorliegt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Die Nullmatrix hat die Determinante 0. Demnach ist der Verdachtspunkt ein sog. entarteter Punkt.
Hier vielleicht noch mal ein kurzer Überblick: Sei H die Hesse-Matrix.
Ein entarteter Punkt ist es, wenn det H = 0.
Ein Sattelpunkt ist es wenn det H < 0 ist.
Positiv / negativ definit (also Maximum bzw. Minimum) ist es, wenn det H >0 ist und h11 (erstes Element in der Hesse'schen Matrix) größer bzw. kleiner 0 ist.
Grüße, Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 So 13.05.2012 | | Autor: | Hanz |
Aber eigentlich soll da rauskommen, dass es ein Sattelpunkt ist...
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Hallo Hanz,
> Aber eigentlich soll da rauskommen, dass es ein Sattelpunkt
> ist...
Überprüfe deine Hessematrix.
Es ist [mm] $f_{yy}(x,y)$ [/mm] nach meiner Rechnung falsch ...
Gruß
schachuzipus
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Ich glaub, du hast dich bei dem vierten Eintrag in der Matrix verrechnet...!
Grüße, Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:57 Mo 14.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Es ist f(0,0) = 0 und [mm] f(x,0)=x^3. [/mm] Damit nimmt f in jeder Umgebung von (0,0) Funktionswerte an, die < f(0,0) sind und f nimmt auch in jeder Umgebung Funktionswerte an, die > f(0,0) sind.
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:42 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Hanz |
> Es ist f(0,0) = 0 und [mm]f(x,0)=x^3.[/mm] Damit nimmt f in jeder
> Umgebung von (0,0) Funktionswerte an, die < f(0,0) sind
> und f nimmt auch in jeder Umgebung Funktionswerte an, die >
> f(0,0) sind.
>
> Hilft das ?
>
> FRED
Also wenn ich es richtig verstanden habe gibt es in der UMgebung von (0,0) also Bildwerte, die sowohl größer, als auch kleiner als (0,0) sind, also kann dieser Punkt weder Min. noch Max. sein, also ein Sattelpunkt?
Was mich jetzt noch verwirrt ist, dass in unserem Skript stand, dass wenn die Determinante der Hessematrix =0 ist, dann erhält man eine Gerade von lokalen Extremstellen... nun ist die Determinante 0 und es ist dann aber ein Sattelpunkt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 Mo 14.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Es ist f(0,0) = 0 und [mm]f(x,0)=x^3.[/mm] Damit nimmt f in jeder
> > Umgebung von (0,0) Funktionswerte an, die < f(0,0) sind
> > und f nimmt auch in jeder Umgebung Funktionswerte an, die >
> > f(0,0) sind.
> >
> > Hilft das ?
> >
> > FRED
>
> Also wenn ich es richtig verstanden habe gibt es in der
> UMgebung von (0,0)
in jeder Umgebung von (0,0)
> also Bildwerte, die sowohl größer, als
> auch kleiner als (0,0) sind,
Nein. als f(0,0)
>also kann dieser Punkt weder
> Min. noch Max. sein
Ja
> , also ein Sattelpunkt?
>
> Was mich jetzt noch verwirrt ist, dass in unserem Skript
> stand, dass wenn die Determinante der Hessematrix =0 ist,
> dann erhält man eine Gerade von lokalen Extremstellen...
Was steht genau in Deinem Skript ?
FRED
> nun ist die Determinante 0 und es ist dann aber ein
> Sattelpunkt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:36 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Hanz |
Es wäre hier auf Seite 47 im Skript:
http://www.iag.uni-hannover.de/~ebeling/skripten/MatheIngII.pdf
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