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| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle relativen Extrema, Sattelpunkte und absoluten Extrema der Funktion \ [mm] f(x,y):=xy(1-x^2-y^2) [/mm] auf [0,1]x[0,1]. |
Hallo zusammen,
ich habe obige Aufgabe zu großen Teilen gelöst - also über die Definitheit der Hesse-Matrix zur Funktion die kritischen Punkte überprüft und komme auf diesselben Maxima/Minima wie wolframalpha:
![[]](/images/popup.gif) Link zu wolframalpha.
Nun stellen sich mir 2 Fragen:
1) Ich soll die Funktion auf dem Gebiet [0,1]x[0,1] untersuchen. Heißt das, ich ignoriere die auftauchenden x-/y-Werte kleiner null?
2) Ein kritischer Punkt ist (0,0). Es ergibt sich folgende Hesse-Matrix:
[mm] $H_f(0,0)=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } \Rightarrow \det(H_f(0,0))=1 [/mm] .$
Wie gehe ich nun mit diesem Punkt um? Nach einem Satz in unserem Skript steht, dass
Für [mm] A=\pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] symmetrisch gilt:
A>0 [mm] \gdw [/mm] det(A)>0 und a>0
A<0 [mm] \gdw [/mm] det(A)>0 und a<0
[mm] A\ge0 [/mm] oder [mm] A\le0 \gdw [/mm] det(A) [mm] \ge0
[/mm]
A ist indefinit [mm] \gdw [/mm] det(A)<0.
Nun passt aber keine der Bedingungen zu dem Punkt. Wie handhabe ich ihn? Mathematica lässt erahnen, dass dort ein Sattelpunkt vorliegt.... Mache/sehe ich hier irgendetwas falsch?
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Hallo,
> 1) Ich soll die Funktion auf dem Gebiet [0,1]x[0,1]
[mm] $[0,1]\times[0,1]$ [/mm] ist kein Gebiet! Dein Definitionsbereich ist abgeschlossen und nicht offen. Du musst also auch die Kanten und die Ecken deines Definitionsbereichs auf lokale/globale Extrema untersuchen.
> untersuchen. Heißt das, ich ignoriere die auftauchenden
> x-/y-Werte kleiner null?
Ja, wie das bei Definitionsbereichen eben so ist.  Es ist [mm] $x\in[0,1]$ [/mm] und [mm] $y\in[0,1]$.
[/mm]
> 2) Ein kritischer Punkt ist (0,0). Es ergibt sich folgende
> Hesse-Matrix:
> [mm]H_f(0,0)=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } \Rightarrow \det(H_f(0,0))=1 .[/mm]
Wenn ich das richtig sehe, dann ist deine Hesse-Matrix falsch. WolframAlpha ist übrigens derselben Meinung. So wie es aussieht, sind da aber nur die Elemente vertauscht. Rechne das aber lieber nochmal nach. ]Das ("http://www.wolframalpha.com/input/?i=D[x*y%281-x^2-y^2%29%2C{{x%2Cy}%2C2}]", falls der Link nicht funktioniert) spuckt übrigens Wolfram aus.
> Wie gehe ich nun mit diesem Punkt um? Nach einem Satz in
> unserem Skript steht, dass
>
> Für [mm]A=\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] symmetrisch gilt:
>
> A>0 [mm]\gdw[/mm] det(A)>0 und a>0
> A<0 [mm]\gdw[/mm] det(A)>0 und a<0
> [mm]A\ge0[/mm] oder [mm]A\le0 \gdw[/mm] det(A) [mm]\ge0[/mm]
> A ist indefinit [mm]\gdw[/mm] det(A)<0.
>
> Nun passt aber keine der Bedingungen zu dem Punkt. Wie
> handhabe ich ihn? Mathematica lässt erahnen, dass dort ein
> Sattelpunkt vorliegt.... Mache/sehe ich hier irgendetwas
> falsch?
Wenn diese Hesse-Matrix richtig wäre, dann trifft doch hier der erste Fall zu. Es ist $a=1>0$ und [mm] $\det [/mm] Hf(x)=1>0$.
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> Hallo,
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> > 1) Ich soll die Funktion auf dem Gebiet [0,1]x[0,1]
>
> [mm][0,1]\times[0,1][/mm] ist kein Gebiet! Dein Definitionsbereich
> ist abgeschlossen und nicht offen. Du musst also auch die
> Kanten und die Ecken deines Definitionsbereichs auf
> lokale/globale Extrema untersuchen.
>
> > untersuchen. Heißt das, ich ignoriere die auftauchenden
> > x-/y-Werte kleiner null?
>
> Ja, wie das bei Definitionsbereichen eben so ist. Es
> ist [mm]x\in[0,1][/mm] und [mm]y\in[0,1][/mm].
>
> > 2) Ein kritischer Punkt ist (0,0). Es ergibt sich folgende
> > Hesse-Matrix:
> > [mm]H_f(0,0)=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } \Rightarrow \det(H_f(0,0))=1 .[/mm]
>
> Wenn ich das richtig sehe, dann ist deine Hesse-Matrix
> falsch. WolframAlpha ist übrigens derselben Meinung. So
> wie es aussieht, sind da aber nur die Elemente vertauscht.
> Rechne das aber lieber nochmal nach.
> ]Das
> [mm]("[code]http://www.wolframalpha.com/input/?i=D[x*y%281-x^2-y^2%29%2C{{x%2Cy}%2C2}][/code]",[/mm]
> falls der Link nicht funktioniert) spuckt übrigens Wolfram
> aus.
Ich habe die Matrixelemente bei der Eingabe vertauscht. Die Matrix ist also
[mm]H_f(0,0)=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } \Rightarrow \det(H_f(0,0))=-1 .[/mm]
Und dieser Fall ist nirgends einzuordnen, da a=0 bzw. wie handhabe ich diesen Punkt?
>
> > Wie gehe ich nun mit diesem Punkt um? Nach einem Satz in
> > unserem Skript steht, dass
> >
> > Für [mm]A=\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] symmetrisch gilt:
> >
> > A>0 [mm]\gdw[/mm] det(A)>0 und a>0
> > A<0 [mm]\gdw[/mm] det(A)>0 und a<0
> > [mm]A\ge0[/mm] oder [mm]A\le0 \gdw[/mm] det(A) [mm]\ge0[/mm]
> > A ist indefinit [mm]\gdw[/mm] det(A)<0.
> >
> > Nun passt aber keine der Bedingungen zu dem Punkt. Wie
> > handhabe ich ihn? Mathematica lässt erahnen, dass dort ein
> > Sattelpunkt vorliegt.... Mache/sehe ich hier irgendetwas
> > falsch?
>
> Wenn diese Hesse-Matrix richtig wäre, dann trifft doch
> hier der erste Fall zu. Es ist [mm]a=1>0[/mm] und [mm]\det Hf(x)=1>0[/mm].
Danke für die Antwort
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 Di 26.06.2012 | | Autor: | Lustique |
> Ich habe die Matrixelemente bei der Eingabe vertauscht. Die
> Matrix ist also
>
> [mm]H_f(0,0)=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } \Rightarrow \det(H_f(0,0))=-1 .[/mm]
>
> Und dieser Fall ist nirgends einzuordnen, da a=0 bzw. wie
> handhabe ich diesen Punkt?
Da kann ich dir, ehrlich gesagt, nicht weiterhelfen. In meiner Vorlesung wurden Sattelpunkte oder so nie eingeführt, auch nicht auf [mm] $\mathbb{R}$, [/mm] und für eine indefinite Hesse-Matrix weiß ich nur, dass an dieser Stelle dann weder ein lokales Maximum, noch ein lokales Minimum vorliegt. Da muss dir jetzt also jemand anders weiterhelfen, aber ich denke, da wird sich wohl jemand finden lassen.
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Wir müssen das hier etwas anders aufziehen.
Zunächst korrekt: Sie ist weder positiv noch negativ definit, da die Hauptminoren [mm] $H_1=0$, [/mm] also jeweils 0 sind, damit scheidet der Fall [mm] $H_f>0$ [/mm] (damit meine ich jetzt vereinfacht die quadratische Form) immer aus. Für indefinit läge ein Sattelpunkt vor, bei Semidefinitheit wäre keine Aussage möglich und wir kämen zu meinen unten ausgeführten Argumenten.
ABER wir können hier die quadratische Form ja hinschreiben. Mit
[mm] $q(x)=x^TH_fx=(x,y)^T\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }(x,y)=2xy$
[/mm]
finden wir also eine quadratische Form, die indefinit ist, weil für x>0, y<0 negative Werte, für x>0, y>0 aber positive Werte angenommen werden. Also ist die Matrix an sich indefinit und es läge ein Sattelpunkt vor!
Nun haben wir aber den speziellen Fall: x,y=[0,1]x[0,1]. Damit kann die quadratische Form 2xy nur größer gleich 0 sein. Daraus folgt aber positiv definit, weil die Definition der Definitheit den Fall x,y=(0,0) ausschließt. Damit bleiben aber nur positive Werte. Damit haben wir ein lokales Minimum, was mit meiner bisherigen Antwort übereinstimmt. Sonst hättest du Indefinitheit, was sofort über die quadratische Form einleutet.
Alternativ die Eigenwerte:
[mm] $(-\lambda)^2-1=0 \Rightarrow \lambda_{1/2}=\pm [/mm] 1$.
Dies widerspricht der positiven Definitheit, da alle EW größer 0 sein müssten. Dies zeigt direkt wieder Indefinitheit. Dafür gibt es auch die Möglichkeit, wie du schon gezeigt hast, nur die Determinante anzuschauen, die bei Indefinitheit <0 sein muss. Dann hast du einen Sattelpunkt. (nur Semidefinitheit lässt keine allg. Aussagen zu!).
Also du hast 3 Kriterien, um die Definitheit zu prüfen! Hauptminoren [mm] ($H_i$), [/mm] Eigenwerte und die quadratische Form!
Du hast jetzt die gleichen Möglichkeiten wie schon im [mm] $\IR$: [/mm] Vorzeichenkriterium oder Argumentation anhand des Graphen.
Also wir wissen den stationären Punkt $(0,0)$ und wir wissen, dass wir nur Werte zwischen 0 und 1 für x,y berücksichtigen müssen.
Die Funktionsgleichung lautet:
[mm] $-yx^3-xy^3+xy$
[/mm]
Für einen Hoch- oder Tiefpunkt muss der Punkt lokal in einer gewissen r-Umgebung den tiefsten oder höchsten Wert annehmen. Wir haben es also offenbar mit kubischen Funktionen zu tun, die uns schonmal einen Hinweis auf das Verhalten der Funktion geben.
Betrachten wir jetzt eine kleine Umgebung $x,y=[0^+,0^+]$, also beide Werte sind minimal positiv, dann folgt:
[mm] $-0^+(0^+)^3-0^+(0^+)^3+0^+0^+$
[/mm]
Beispielsweise $x,y=[0.01,0.01]$
[mm] $-\cfrac{1}{10^8}-\cfrac{1}{10^8}+\cfrac{1}{10^4}$
[/mm]
Also wir erwarten einen positiven z-Wert. Das zeigt auch Wolphramalpha in seinem tollen Plot! Für positive x und y-Werte steigt die Fläche nach oben. Da wir genau am Rand sitzen, gibt es keine negativen Werte, die wir überprüfen können. Es muss sich also wegen f(0,0)=0 um ein Minimum handeln (allerdings nur lokal). Denn die Funktion hat die Eigenart, an einem scharfen Rand negative z-Werte anzunehmen, und zwar noch innerhalb des Intervalls [0,1]x[0,1]. Damit kann kein globales Minimum vorliegen, denn f(1,1)=-1. Soweit gefolgt? Also so würde ich argumentieren.
Anders wäre die Sache, wenn der Def-Bereich nicht eingeschränkt wäre, da wir um 0 herum auch Bereiche haben, in denen die Funktionswerte direkt kleiner werden (z.B. x>0 aber y<0 etc., siehe Wolphram).
Zur Anschaulichkeit nochmal das Bild von Wlphi
[Dateianhang nicht öffentlich]
Quelle: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x*y%281-x^2-y^2%29, Berechnung von xy(1-x^2-y^2).
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Zunächst einmal danke für die sehr ausführliche und hilfreiche Antwort!!
> Wir müssen das hier etwas anders aufziehen.
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> Zunächst korrekt: Sie ist weder positiv noch negativ
> definit, da die Hauptminoren [mm]H_1=0[/mm], also jeweils 0 sind,
> damit scheidet der Fall [mm]H_f>0[/mm] (damit meine ich jetzt
> vereinfacht die quadratische Form) immer aus. Für
> indefinit läge ein Sattelpunkt vor, bei Semidefinitheit
> wäre keine Aussage möglich und wir kämen zu meinen unten
> ausgeführten Argumenten.
>
> ABER wir können hier die quadratische Form ja
> hinschreiben. Mit
> [mm]q(x)=x^TH_fx=(x,y)^T\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }(x,y)=2xy[/mm]
>
> finden wir also eine quadratische Form, die indefinit ist,
> weil für x>0, y<0 negative Werte, für x>0, y>0 aber
> positive Werte angenommen werden. Also ist die Matrix an
> sich indefinit und es läge ein Sattelpunkt vor!
>
> Nun haben wir aber den speziellen Fall: x,y=[0,1]x[0,1].
> Damit kann die quadratische Form 2xy nur größer gleich 0
> sein. Daraus folgt aber positiv definit, weil die
> Definition der Definitheit den Fall x,y=(0,0) ausschließt.
> Damit bleiben aber nur positive Werte. Damit haben wir ein
> lokales Minimum, was mit meiner bisherigen Antwort
> übereinstimmt. Sonst hättest du Indefinitheit, was sofort
> über die quadratische Form einleutet.
>
> Alternativ die Eigenwerte:
>
> [mm](-\lambda)^2-1=0 \Rightarrow \lambda_{1/2}=\pm 1[/mm].
>
> Dies widerspricht der positiven Definitheit, da alle EW
> größer 0 sein müssten. Dies zeigt direkt wieder
> Indefinitheit. Dafür gibt es auch die Möglichkeit, wie du
> schon gezeigt hast, nur die Determinante anzuschauen, die
> bei Indefinitheit <0 sein muss. Dann hast du einen
> Sattelpunkt. (nur Semidefinitheit lässt keine allg.
> Aussagen zu!).
>
> Also du hast 3 Kriterien, um die Definitheit zu prüfen!
> Hauptminoren ([mm]H_i[/mm]), Eigenwerte und die quadratische Form!
>
> Du hast jetzt die gleichen Möglichkeiten wie schon im [mm]\IR[/mm]:
> Vorzeichenkriterium oder Argumentation anhand des Graphen.
>
> Also wir wissen den stationären Punkt [mm](0,0)[/mm] und wir
> wissen, dass wir nur Werte zwischen 0 und 1 für x,y
> berücksichtigen müssen.
>
> Die Funktionsgleichung lautet:
> [mm]-yx^3-xy^3+xy[/mm]
>
> Für einen Hoch- oder Tiefpunkt muss der Punkt lokal in
> einer gewissen r-Umgebung den tiefsten oder höchsten Wert
> annehmen. Wir haben es also offenbar mit kubischen
> Funktionen zu tun, die uns schonmal einen Hinweis auf das
> Verhalten der Funktion geben.
> Betrachten wir jetzt eine kleine Umgebung [mm]x,y=[0^+,0^+][/mm],
> also beide Werte sind minimal positiv, dann folgt:
> [mm]-0^+(0^+)^3-0^+(0^+)^3+0^+0^+[/mm]
> Beispielsweise [mm]x,y=[0.01,0.01][/mm]
> [mm]-\cfrac{1}{10^8}-\cfrac{1}{10^8}+\cfrac{1}{10^4}[/mm]
>
> Also wir erwarten einen positiven z-Wert. Das zeigt auch
> Wolphramalpha in seinem tollen Plot! Für positive x und
> y-Werte steigt die Fläche nach oben. Da wir genau am Rand
> sitzen, gibt es keine negativen Werte, die wir überprüfen
> können. Es muss sich also wegen f(0,0)=0 um ein Minimum
> handeln (allerdings nur lokal). Denn die Funktion hat die
> Eigenart, an einem scharfen Rand negative z-Werte
> anzunehmen, und zwar noch innerhalb des Intervalls
> [0,1]x[0,1]. Damit kann kein globales Minimum vorliegen,
> denn f(1,1)=-1. Soweit gefolgt? Also so würde ich
> argumentieren.
Ja, soweit so gut gefolgt, aber noch eine kleine naive Frage hierzu:
Ist denn der Punkt (0,0) bzw (1,1) nicht ein globales Extremum, da der Definitionsbereich eingeschränkt ist?
>
> Anders wäre die Sache, wenn der Def-Bereich nicht
> eingeschränkt wäre, da wir um 0 herum auch Bereiche
> haben, in denen die Funktionswerte direkt kleiner werden
> (z.B. x>0 aber y<0 etc., siehe Wolphram).
>
> Zur Anschaulichkeit nochmal das Bild von Wlphi
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Quelle:
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=x*y%281-x^2-y^2%29, Berechnung von xy(1-x^2-y^2).
DAANKE NOCHMAL!!
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> Ja, soweit so gut gefolgt, aber noch eine kleine naive
> Frage hierzu:
> Ist denn der Punkt (0,0) bzw (1,1) nicht ein globales
> Extremum, da der Definitionsbereich eingeschränkt ist?
>
Die ist nicht naiv, aber allg. gilt das natülich nicht. Richtig ist, wie schon im Eindimensionalen: Schränken wir den Definitionsbereich ein, müssen wir auch den Rand prüfen.
Es gibt übrigens noch andere Extrema, die dir auch Wolphram liefert. Ich habe neben der Lösung [mm] $P_1(0,0)$ [/mm] noch die Punkte [mm] $P_2(\bruch{1}{2}, \bruch{1}{2})$, $P_3(\bruch{1}{2}, -\bruch{1}{2})$, $P_4(-\bruch{1}{2}, \bruch{1}{2})$, $P_5(-\bruch{1}{2}, -\bruch{1}{2})$ [/mm] gefunden. (Rechnerisch nachprüfen!) Diese liegen aber alle nicht auf dem Rand und können mit der Hesse-Matrix identifiziert werden.
Sofern du nicht Lagrange für die Nebenbedingung nutzen kannst (das wäre hier sowoas wie [mm] $x^2+y^2 \leq [/mm] 1, x [mm] \ge [/mm] 0, y [mm] \ge [/mm] 0$), musst du es einfach anhand des Funktionverlaufes prüfen.
Wäre [mm] $P_1(0,0)$ [/mm] ein globales Minimum, dürfte nichts niedriger sein. Der Punkt (1,1) liefert aber:
[mm] \[f(1,1)=-1\]. [/mm] Damit sind wir tiefer als $f(0,0)=0$ Es kann schonmal kein globaer Tiefpunkt sein. (Wir hatten ja schon gefunden, dass es für die Funktion ein SP ist, wenn der Def nicht eingeschränkt wäre). Wäre es ein globales Maximum, dann dürfte es keine größeren Funktionswerte geben:
[mm] \[f(0.5,0.5)=0.125>0\]
[/mm]
Damit ist es auch kein globales Extremum. Es ist, wie bereits dargelegt, ausnahmsweise ein lokales Minimum, weil alle Funktionswerte in der Umgebung erstmal größer werden, siehe den Plot! Aber es kann kein globales Extremum sein! Das wäre nur der Fall, wenn die Funktion ab auf dem gesamten Rechteck [0,1]x[0,1] größere Funktionswerte annehmen würde. Deshalb habe ich dir aber extra Wolphi geplottet, denn dort sieht man, dass die Funktionswerte nur in einem Kreis mit dem Radius 1 um den 0 Punkt im 1. Quadranten größer werden, darüber hinaus sind negative Werte!
Der Punkt (1,1) ist allerdings in der Tat ein globales Minimum, was dir der Gradient auch nicht liefern kann. Also da hast du recht ;) Aber nur, wenn man ihn einsetzt und vergleicht, das kann man nicht allg. einfach so sagen!
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Jo super!! DANKE,
ein ganzes Stück auf dem Weg zu Erleuchtung bin ich dank dir weiter gekommen!
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