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Lokale Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:30 Di 03.07.2012
Autor: D-C

Aufgabe
Hallo, ich möchte alle lokalen Maxima und Minima der Funktion f: [-1,10] -> [mm] \IR [/mm] mit
f(x) = [mm] x^{n}*e^{-x} [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] bestimmen

Also hab ich erstmal die ersten zwei Ableitungen gebildet:

f'(x) = [mm] e^{-x}*(n-x)*x^{n-1} [/mm]
und
f''(x) = [mm] e^{-x}*x^{n-2}*(n^{2}-n*(2x+1)+x^{2}) [/mm]

Normalerweise würde man ja jetzt f'(x) = 0 setzen und die Stellen in f''(x) einsetzen um die Funktionswerte zu den Extremstellen zu berechnen...

Nur mit  [mm] e^{-x}*(n-x)*x^{n-1}= [/mm] 0 kommt man ja nicht wirklich weiter oder?


Gruß

D-C

        
Bezug
Lokale Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:44 Di 03.07.2012
Autor: barsch

Hallo,


> Hallo, ich möchte alle lokalen Maxima und Minima der
> Funktion f: [-1,10] -> [mm]\IR[/mm] mit
>  f(x) = [mm]x^{n}*e^{-x}[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm] bestimmen
>  Also hab ich erstmal die ersten zwei Ableitungen
> gebildet:
>  
> f'(x) = [mm]e^{-x}*(n-x)*x^{n-1}[/mm]

stimmt.


> Normalerweise würde man ja jetzt f'(x) = 0 setzen und die
> Stellen in f''(x) einsetzen um die Funktionswerte zu den
> Extremstellen zu berechnen...
>  
> Nur mit  [mm]e^{-x}*(n-x)*x^{n-1}=[/mm] 0 kommt man ja nicht
> wirklich weiter oder?

Doch, dein Ansatz ist schon richtig. Wann gilt denn [mm]e^{-x}*(n-x)*x^{n-1}=0[/mm]?

Betrachte dabei die einzelnen Faktoren. Das Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren gleich 0 ist. Nun gilt [mm]e^{-x}>0[/mm] für alle x im Defintionsbereich! Wichtig: Achte auf den angegebenen Definitionsbereich. Der ist wichtig für die beiden anderen Faktoren.

>
>
> Gruß
>  
> D-C

Gruß
barsch


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Bezug
Lokale Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:59 Di 03.07.2012
Autor: D-C

Also wenn ich zuerst einmal die Faktore einzeln betrachte, müsste

[mm] e^{-x}=0 [/mm] nur bei [mm] e^{0} [/mm]

(n-x)=0 bei n=x

und [mm] x^{n-1} [/mm] immer positiv

sein!?


Gruß
D-C

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Lokale Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:14 Di 03.07.2012
Autor: barsch


> Also wenn ich zuerst einmal die Faktore einzeln betrachte,
> müsste
>  
> [mm]e^{-x}=0[/mm] nur bei [mm]e^{0}[/mm]

um die Uhrzeit schleichen sich Fehler ein. [mm] $e^0=1$ [/mm] - in meiner 1. Antwort hatte ich geschrieben, dass [mm] $e^{-x}>0$. [/mm]

>  
> (n-x)=0 bei n=x

Ja - gilt das auch, wenn n=11? Wie gesagt, auf den Def.-Bereich von f achten!


> und [mm]x^{n-1}[/mm] immer positiv

Wirklich? Was ist mit x=0?

> sein!?
>  
>
> Gruß
>  D-C

Gruß
barsch


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Lokale Extrema: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:21 Di 03.07.2012
Autor: D-C


>
> > Also wenn ich zuerst einmal die Faktore einzeln betrachte,
> > müsste
>  >  
> > [mm]e^{-x}=0[/mm] nur bei [mm]e^{0}[/mm]
>  
> um die Uhrzeit schleichen sich Fehler ein. [mm]e^0=1[/mm] - in
> meiner 1. Antwort hatte ich geschrieben, dass [mm]e^{-x}>0[/mm].
>  

Das ich da Quatsch geschrieben habe ist mir auch aufgefallen , aber da hatte ich schon auf senden geklickt.. ; ) natürlich ist das >0 .

> > (n-x)=0 bei n=x
>  
> Ja - gilt das auch, wenn n=11? Wie gesagt, auf den
> Def.-Bereich von f achten!

Hier muss ich mir noch Gedanken zu machen, da sehe ich grade noch nichts besonderes. Da überlege ich morgen früh nochmal was, zu einer besseren Uhrzeit.. : )

>  
>
> > und [mm]x^{n-1}[/mm] immer positiv
>  
> Wirklich? Was ist mit x=0?

Bei x=0 ist der Faktor auch 0 bemerke ich grade.
  

> > sein!?
>  >  
> >
> > Gruß
>  >  D-C
>
> Gruß
>  barsch
>  

Gruß
D-C


Bezug
                                        
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Lokale Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:23 Di 03.07.2012
Autor: D-C


> >
> > > Also wenn ich zuerst einmal die Faktore einzeln betrachte,
> > > müsste
>  >  >  
> > > [mm]e^{-x}=0[/mm] nur bei [mm]e^{0}[/mm]
>  >  
> > um die Uhrzeit schleichen sich Fehler ein. [mm]e^0=1[/mm] - in
> > meiner 1. Antwort hatte ich geschrieben, dass [mm]e^{-x}>0[/mm].
>  >  
>
> Das ich da Quatsch geschrieben habe ist mir auch
> aufgefallen , aber da hatte ich schon auf senden geklickt..
> ; ) natürlich ist das >0 .
>  
> > > (n-x)=0 bei n=x
>  >  
> > Ja - gilt das auch, wenn n=11? Wie gesagt, auf den
> > Def.-Bereich von f achten!
>  
> Hier muss ich mir noch Gedanken zu machen, da sehe ich
> grade noch nichts besonderes. Da überlege ich morgen früh
> nochmal was, zu einer besseren Uhrzeit.. : )
>  >  
> >

Also der Definitionsbereich liegt ja eigentlich bei [-1,10], aber was hilft mir das jetzt genau ?


> > > und [mm]x^{n-1}[/mm] immer positiv
>  >  
> > Wirklich? Was ist mit x=0?
>  
> Bei x=0 ist der Faktor auch 0 bemerke ich grade.
>    
> > > sein!?
>  >  >  

Gruß
D-C



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Lokale Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:44 Di 03.07.2012
Autor: schachuzipus

Hallo,

zitiere doch mit etwas Bedacht, unnötiges Zeug kannst du löschen ...


> > > > (n-x)=0 bei n=x
>  >  >  
> > > Ja - gilt das auch, wenn n=11? Wie gesagt, auf den
> > > Def.-Bereich von f achten!
>  >  
> > Hier muss ich mir noch Gedanken zu machen, da sehe ich
> > grade noch nichts besonderes. Da überlege ich morgen früh
> > nochmal was, zu einer besseren Uhrzeit.. : )
>  >  >  
> > >
>
> Also der Definitionsbereich liegt ja eigentlich bei
> [-1,10], aber was hilft mir das jetzt genau ?

Na, oben und unten stehen doch alle potentiellen Nullstellen:

[mm]x=n[/mm] und [mm]x=0[/mm]

[mm]x=0[/mm] liegt immer, also für alle $n$ im Definitionsbereich.

Aber ab [mm]n=11[/mm] liegt doch [mm]x=n=11[/mm] nicht mehr im Definitionsbereich, da kann also keine Nullstelle oder sonstwas sein ...

Schreib' nochmal zusammenfassend und schön sauber auf, wie die Nullstellen von [mm]f'[/mm] in Abhängigkeit von [mm]n[/mm] lauten.


>
> > > > und [mm]x^{n-1}[/mm] immer positiv
>  >  >  
> > > Wirklich? Was ist mit x=0?
>  >  
> > Bei x=0 ist der Faktor auch 0 bemerke ich grade.


Gruß

schachuzipus



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Bezug
Lokale Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:50 Di 03.07.2012
Autor: fred97


> > >
> > > > Also wenn ich zuerst einmal die Faktore einzeln betrachte,
> > > > müsste
>  >  >  >  
> > > > [mm]e^{-x}=0[/mm] nur bei [mm]e^{0}[/mm]
>  >  >  
> > > um die Uhrzeit schleichen sich Fehler ein. [mm]e^0=1[/mm] - in
> > > meiner 1. Antwort hatte ich geschrieben, dass [mm]e^{-x}>0[/mm].
>  >  >  
> >
> > Das ich da Quatsch geschrieben habe ist mir auch
> > aufgefallen , aber da hatte ich schon auf senden geklickt..
> > ; ) natürlich ist das >0 .
>  >  
> > > > (n-x)=0 bei n=x
>  >  >  
> > > Ja - gilt das auch, wenn n=11? Wie gesagt, auf den
> > > Def.-Bereich von f achten!
>  >  
> > Hier muss ich mir noch Gedanken zu machen, da sehe ich
> > grade noch nichts besonderes. Da überlege ich morgen früh
> > nochmal was, zu einer besseren Uhrzeit.. : )
>  >  >  
> > >
>
> Also der Definitionsbereich liegt ja eigentlich bei
> [-1,10], aber was hilft mir das jetzt genau ?


Nehmen wir mal den Fall n=1, also [mm] f(x)=xe^{-x} [/mm]

Dann ist f'(x)=0  [mm] \gdw [/mm] x=1. Es ist f(1)=1/e

bei x=1 hast Du also ein relatives Extremum

Nun Schau Dir mal f(-1) an.

FRED

>  
>
> > > > und [mm]x^{n-1}[/mm] immer positiv
>  >  >  
> > > Wirklich? Was ist mit x=0?
>  >  
> > Bei x=0 ist der Faktor auch 0 bemerke ich grade.
>  >    
> > > > sein!?
>  >  >  >  
>
> Gruß
>  D-C
>
>  


Bezug
                                                        
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Lokale Extrema: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:53 Di 03.07.2012
Autor: D-C


>
> Nehmen wir mal den Fall n=1, also [mm]f(x)=xe^{-x}[/mm]
>  
> Dann ist f'(x)=0  [mm]\gdw[/mm] x=1. Es ist f(1)=1/e
>  
> bei x=1 hast Du also ein relatives Extremum
>  
> Nun Schau Dir mal f(-1) an.
>  
> FRED

Das sollte dann so aussehen?

[mm] f(-1)=e*(-1)^n [/mm]
f [mm] (0)=0^n [/mm]
f(1)=1/e    (s.o.)
f [mm] (2)=2^n/e^2 [/mm]
f [mm] (3)=3^n/e^3 [/mm]
f [mm] (4)=4^n/e^4 [/mm]

[mm] \ldots [/mm]

[mm] f(10)=10^n/e^{10} [/mm]

Gruß
D-C

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Lokale Extrema: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Do 05.07.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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