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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:23 Do 21.11.2013 | | Autor: | Gosset |
| Aufgabe | | Gesucht werden die lokalen Extremstellen von [mm] f(x,y)=x^2+0,5*y^2-x*y-x+2y+7 [/mm] |
[mm] f_x=2x-y-1
[/mm]
[mm] f_y=y-x+2
[/mm]
f_yy=1
f_xx=2
f_xy=-1
Hinreichende Bedingung:
[mm] f_x=0 [/mm] und [mm] f_y=0
[/mm]
Gilt für E(-1/-3)
Notwendige Bedingung:
H= [mm] \pmat{ f_xx & f_xy \\ f_yx & f_yy }
[/mm]
H= [mm] \pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 1 }
[/mm]
det(H)=2-1=1
Nun ist die Hinreichende Bedingung unabhängig von den Koordinaten des Punktes, die Determinante der Hessen-Matrix ist positiv und f_xx auch was für ein Minimum sprechen würde. Kann wohl nicht ganz stimmen da ich mir die Fläche angesehen habe und mich nun frage ob es hier überhaupt ein lokales Minimum gibt?
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> Gesucht werden die lokalen Extremstellen von
> [mm]f(x,y)=x^2+0,5*y^2-x*y-x+2y+7[/mm]
> [mm]f_x=2x-y-1[/mm]
> [mm]f_y=y-x+2[/mm]
> f_yy=1
> f_xx=2
> f_xy=-1
>
> Hinreichende Bedingung:
> [mm]f_x=0[/mm] und [mm]f_y=0[/mm]
>
> Gilt für E(-1/-3)
>
> Notwendige Bedingung:
> H= [mm]\pmat{ f_xx & f_xy \\ f_yx & f_yy }[/mm]
> H= [mm]\pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 1 }[/mm]
>
> det(H)=2-1=1
>
> Nun ist die Hinreichende Bedingung unabhängig von den
> Koordinaten des Punktes, die Determinante der Hessen-Matrix
> ist positiv und f_xx auch was für ein Minimum sprechen
> würde. Kann wohl nicht ganz stimmen da ich mir die Fläche
> angesehen habe und mich nun frage ob es hier überhaupt ein
> lokales Minimum gibt?
>
>
Ich weiß nicht, wo du dir die Fläche angeschaut hast - in meiner Zeichnung hat sie ganz klar das m. E. korrekt berechnete Minimum (sieht in der Umgebung davon etwa so aus wie eine ovale Schale).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:04 Do 21.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Gesucht werden die lokalen Extremstellen von
> [mm]f(x,y)=x^2+0,5*y^2-x*y-x+2y+7[/mm]
> [mm]f_x=2x-y-1[/mm]
> [mm]f_y=y-x+2[/mm]
> f_yy=1
> f_xx=2
> f_xy=-1
>
> Hinreichende Bedingung:
> [mm]f_x=0[/mm] und [mm]f_y=0[/mm]
>
> Gilt für E(-1/-3)
>
> Notwendige Bedingung:
> H= [mm]\pmat{ f_xx & f_xy \\ f_yx & f_yy }[/mm]
> H= [mm]\pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 1 }[/mm]
>
> det(H)=2-1=1
>
> Nun ist die Hinreichende Bedingung unabhängig von den
> Koordinaten des Punktes, die Determinante der Hessen-Matrix
???? Kommt die nicht aus Sachsen ?
Nein. Es heißt Hesse-Matrix.
> ist positiv und f_xx auch was für ein Minimum sprechen
> würde. Kann wohl nicht ganz stimmen da ich mir die Fläche
> angesehen habe und mich nun frage ob es hier überhaupt ein
> lokales Minimum gibt?
Wo ist Dein Problem ?
Du hast [mm] f_x(-1,-3)=f_y(-1,-3)=0 [/mm] und die Hesse-Matrix ist in (-1,-3) positiv definit.
Damit hat f in diesem Punkt ein lok. Min.
FRED
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 Do 21.11.2013 | | Autor: | Gosset |
Oh, Hessen war ein Tippfehler ;)
Habs mir hier ![[]](/images/popup.gif) Link angesehen, da schaut es aus wie eine "Rille" und dann dachte ich es wären mehrere Stellen das "Minimum". Bis jetzt hab ich auch immer nur Hesse-Matrizen mit den Variablen gesehn drum war ich beunruhigt und dachte es gibt kein definiertes Minimum.
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