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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Di 29.06.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Ich rechne nun schon seit Stunden an der Aufgabe und komme nicht zum Ziel:
Sei $F: [mm] \IR^2 \setminus \{0,0\} \rightarrow \IR^2 \setminus \{0,0\}, [/mm] (x,y) [mm] \rightarrow \left(\bruch{x}{x^2 + y^2} , \bruch{y}{x^2 + y^2}\right)$
[/mm]
Zu zeigen ist die lokale invertierbarkeit und in einem zweiten Schritt (den hab ich schon) über den Beweis, dass die Umkehrfunktion für alle Punkte existiert auch die globale Invertierbarkeit.
Nur ist mir bei der lokalen nvertierbarkeit wohl ein Fehler unterlaufen, den ich nicht finde:
Ich bilde doch die Jacobimatrix und bestimme dessen Determinante:
[mm]det J_f (x,y) = \det \begin{pmatrix}
\bruch{-x^2 +y^2}{(x^2 + y^2)^2} & \bruch{-2xy}{x^2 + y^2} \\
\bruch{-2xy}{x^2 + y^2} & \bruch{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}
\end{pmatrix}[/mm]
[mm]= \bruch{(-x^2 +y^2)(x^2-y^2)}{(x^2 + y^2)^2} - \bruch{4xy}{(x^2 + y^2)^2} = 0
\gdw 0 = 2x^2y^2 - x^4 +y^4 -4x^2y^2(x^4+2x^2y^2+y^4)[/mm]
usw. aber ich komma da auf kein gutes Ergebnis.. =(
(Für den Server *grml* : Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt. )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Di 29.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Hathorman,
> Sei [mm]F: \IR^2 \setminus \{0,0\} \rightarrow \IR^2 \setminus \{0,0\}, (x,y) \rightarrow \left(\bruch{x}{x^2 + y^2} , \bruch{y}{x^2 + y^2}\right)[/mm]
>
>
> Zu zeigen ist die lokale invertierbarkeit und in einem
> zweiten Schritt (den hab ich schon) über den Beweis, dass
> die Umkehrfunktion für alle Punkte existiert auch die
> globale Invertierbarkeit.
>
> Nur ist mir bei der lokalen nvertierbarkeit wohl ein Fehler
> unterlaufen, den ich nicht finde:
>
> Ich bilde doch die Jacobimatrix und bestimme dessen
> Determinante:
>
> [mm]det J_f (x,y) = \det \begin{pmatrix}
\bruch{-x^2 +y^2}{(x^2 + y^2)^2} & \bruch{-2xy}{x^2 + y^2} \\
\bruch{-2xy}{x^2 + y^2} & \bruch{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}
\end{pmatrix}[/mm]
Auf der Nebendiagonale hast du vergessen, die Nenner (bei Anwendung der Quotientenregel) zu quadradieren.
> [mm]= \bruch{(-x^2 +y^2)(x^2-y^2)}{(x^2 + y^2)^2} - \bruch{4xy}{(x^2 + y^2)^2} = 0
\gdw 0 = 2x^2y^2 - x^4 +y^4 -4x^2y^2(x^4+2x^2y^2+y^4)[/mm]
Hier scheinst du erweitert zu haben, dieser Schritt fällt dann weg und es kommt ein recht schönes Ergebnis raus 
> usw. aber ich komma da auf kein gutes Ergebnis.. =(
>
> (Für den Server *grml* : Ich habe diese Frage in keinem
> weiteren Forum gestellt. )
Das ist nur eine Übergangslösung, bis wir eine bessere gefunden haben.
Poste doch mal korrigiertes Ergebnis, zur Kontrolle.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Di 29.06.2004 | | Autor: | Micha |
Also hier mein korrigiertes Ergebnis und ich komme auch auf die meines Erachtens nach richtige Lösung:
[mm]det J_f (x,y) = \det \begin{pmatrix}
\bruch{-x^2 +y^2}{(x^2 + y^2)^2} & \bruch{-2xy}{(x^2 + y^2)^2} \\
\bruch{-2xy}{(x^2 + y^2)^2} & \bruch{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}
\end{pmatrix} = \bruch{(-x^2 +y^2)(x^2 -y^2) - 4x^2 y^2}{(x^2 + y^2)^2} = 0
\gdw 0 = (-x^2 +y^2)(x^2 -y^2) - 4x^2 y^2
\gdw 0 = -x^4 +2x^2 y^2 -y^4 - 4x^2 y^2
\gdw 0 = - (x^4 + 2x^2 y^2 +y^2)
\gdw 0 = - (x^2 + y^2)^2
\gdw x^2 = -y^2
\Rightarrow x = y = 0 , wobei (0,0) \not\in Definitionsbereich[/mm]
[mm]\Rightarrow f(x,y) [/mm] ist überall im Definitionsbereich lokal invertierbar.
Thx @ marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Di 29.06.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo Micha,
sieht doch gut aus. Kannst auch die Determinante direkt ausrechen und sparst dir so die Äquivalenzumformungen:
[mm] $\frac{1}{(x^2+y^2)^2}((y^2-x^2)(x^2-y^2)-4x^2y^2)=\frac{-y^4-x^4-2x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{-(x^2+y^2)^2}{(x^2+y^2)^2}=-1$
[/mm]
Grüße
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