Lokales, globales Maximum < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:46 Di 19.07.2011 | | Autor: | Hybris |
| Aufgabe | | Zeichnen Sie einen Graphen einer reellen Funktion, die kein lokales Extrema hat aber globales Minimum und Maximum annimmt und nicht konstant ist. |
Hallo. Ich habe verstaendnissprobleme bei dieser Aufgabe. Lokales Extrema, globales min und max...... Die Begriffe verstehe ich nicht ganz.
Kann mir einer bei der Aufgabenstellung helfen?
Gruß
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Ein Extremum ist entweder ein Maximum oder ein Minimum.
Ein lokales Extremum ist ein Extremum in einem bestimmten Bereich, aber nicht zwangsläufig auf dem ganzen Definitionsbereich - also anschaulich: ein globales Maximum ist der größte Funktionswert den die Funktion annimmt, ein lokales Maximum ist der größte Funktionswert in einem bestimmten Bereich.
Zum Beispiel $f(x) = [mm] x^2$ [/mm] hat bei 0 ein globales Minimum, $f(x) = cos(x)$ hat bei 0 ein lokales UND globales Maximum (es ist aber anders als bei [mm] $x^2$ [/mm] nicht das einzige).
(edit: fred hat natürlich Recht, war Quatsch was ich zuerst stehen hatte)
Um die Aufgabe zu lösen solltest du dir dringend nochmal angucken wie ihr lokale und wie ihr globale Extrema definiert habt und wo da der Unterschied ist (denn wenn du den nicht kennst kannst du natürlich keine Funktion finden die das eine hat aber das andere nicht^^).
MfG
Schadowmaster
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 Di 19.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ein Extremum ist entweder ein Maximum oder ein Minimum.
> Ein lokales Extremum ist ein Extremum in einem bestimmten
> Bereich, aber nicht zwangsläufig auf dem ganzen
> Definitionsbereich - also anschaulich: ein globales Maximum
> ist der größte Funktionswert den die Funktion annimmt,
> ein lokales Maximum ist der größte Funktionswert in einem
> bestimmten Bereich.
> Zum Beispiel [mm]f(x) = x^2[/mm] hat bei 0 ein globales Minimum,
> [mm]f(x) = cos(x)[/mm] hat bei 0 ein lokales Maximum (aber kein
> globales).
?????????????????????????????????
Doch, der Cosinus hat bei 0 ein globales Maximum !
FRED
>
> Um die Aufgabe zu lösen solltest du dir dringend nochmal
> angucken wie ihr lokale und wie ihr globale Extrema
> definiert habt und wo da der Unterschied ist (denn wenn du
> den nicht kennst kannst du natürlich keine Funktion finden
> die das eine hat aber das andere nicht^^).
>
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> MfG
>
> Schadowmaster
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> > [mm]f(x) = cos(x)[/mm] hat bei 0 ein lokales Maximum (aber kein
> > globales).
>
> ?????????????????????????????????
>
> Doch, der Cosinus hat bei 0 ein globales Maximum !
Jaaa, aaber es ist halt nicht das einzigste !
"Gute Nacht, Engel. Einzigstes, einzigstes Mädchen, und ich kenne ihrer viele."
(Johann Wolfgang von Goethe)
 Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:34 Di 19.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > [mm]f(x) = cos(x)[/mm] hat bei 0 ein lokales Maximum (aber kein
> > > globales).
> >
> > ?????????????????????????????????
> >
> > Doch, der Cosinus hat bei 0 ein globales Maximum !
>
>
> Jaaa, aaber es ist halt nicht das einzigste !
Na und ? Klar ist das nicht am einzigsten. Aber dieses Maximas ist schon am globalsten, oder nich ?
FRED
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> "Gute Nacht, Engel. Einzigstes, einzigstes Mädchen, und
> ich kenne ihrer viele."
>
> (Johann Wolfgang von Goethe)
>
>
> Al
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> > > Doch, der Cosinus hat bei 0 ein globales Maximum !
> >
> > Jaaa, aaber es ist halt nicht das einzigste !
>
> Na und ? Klar ist das nicht am einzigsten. Aber dieses
> Maximas ist schon am globalsten, oder nich ?
Hallo Fred,
ich bin doch vollstens mit dir einverstanden - du hast
nur die leise Ironie nicht ganz erfasst.
Manche Leute denken sich halt wohl bei einem globalen
Maximum implizit das (einzige) Maximum, das
alle anderen überragt. Ein schlappes " [mm] \ge [/mm] " reicht
bei dieser Vorstellung nicht.
Beim Cosinus gibt es natürlich genau ein Maximum,
nämlich den Wert 1 - nur wird dieser
an vielen verschiedenen Extremalstellen angenommen.
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:12 Di 19.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > > Doch, der Cosinus hat bei 0 ein globales Maximum !
> > >
> > > Jaaa, aaber es ist halt nicht das einzigste !
> >
> > Na und ? Klar ist das nicht am einzigsten. Aber dieses
> > Maximas ist schon am globalsten, oder nich ?
>
>
> Hallo Fred,
>
> ich bin doch vollstens mit dir einverstanden - du hast
> nur die leise Ironie nicht ganz erfasst.
Hallo Al,
doch doch,diehab ich schon erfasst.
Gruß FRED
>
> Manche Leute denken sich halt wohl bei einem globalen
> Maximum implizit das (einzige) Maximum, das
> alle anderen überragt. Ein schlappes " [mm]\ge[/mm] " reicht
> bei dieser Vorstellung nicht.
>
> Beim Cosinus gibt es natürlich genau ein Maximum,
> nämlich den Wert 1 - nur wird dieser
> an vielen verschiedenen Extremalstellen angenommen.
>
> Gruß Al
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Die Frage ist sowieso wie lokale und globale Extrema im Zusammenhang mit dieser Aufgabe definiert sind...
Denn eine Funktion die globale Extrema annimmt aber keine lokalen?^^
(ich rate mal, dass in der Definition von lokalen ein Intervall in beide Richtungen gefordert ist; Stichpunkt ekliger Randwert)
Davon abgesehen war meine erste Aussage natürlich nicht wirklich richtig, da hat fred schon Recht. ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Di 19.07.2011 | | Autor: | Hybris |
Hallo. Also ich würde die Sinusfunktion als eine Funktion mit globalen min und max nehmen wollen. Seid ihr damit einverstanden?
Def: f(x) ist größer oder gleich f(x+1) das für glob. Max. Glob. Min: F(x)kleiner/gleich F(x-1)
Gruß
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In der Aufgabenstellung steht aber doch, dass es keine lokale Extrema geben soll.
Die Sinusfunktion hat davon aber verdammt viele.^^
edit:
Oh, sorry, hab deine Def. da unten glatt übersehen...
Habt ihr das wirklich mit f(x+1) definiert?
Sicher dass es nicht $f(x+ [mm] \epsilon)$ [/mm] oder sowas ist für bestimmte Bedingungen an [mm] $\epsilon$?
[/mm]
Denn wenn wirklich nur mit dem Punkt verglichen wird, der um 1 entfernt liegt, könnte man leicht ein Beispiel finden wo das falsch wäre...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Di 19.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht sind exakte Definitionen hilfreich:
Sei D eine nichtleere Teilmenge von [mm] \IR [/mm] und f:D [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion und [mm] x_0 \in [/mm] D.
1. f hat in [mm] x_0 [/mm] ein lokales Maximum, wenn es ein [mm] \delta>0 [/mm] gibt mit:
$ f(x) [mm] \le f(x_0)$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] D [mm] \cap (x_0- \delta, x_0+ \delta).$
[/mm]
2. f hat in [mm] x_0 [/mm] ein lokales Minimum, wenn es ein [mm] \delta>0 [/mm] gibt mit:
$ f(x) [mm] \ge f(x_0)$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] D [mm] \cap (x_0- \delta, x_0+ \delta).$
[/mm]
3. f hat in [mm] x_0 [/mm] ein globales Maximum, wenn gilt:
$ f(x) [mm] \le f(x_0)$ [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] D .
4. f hat in [mm] x_0 [/mm] ein globales Minimum, wenn gilt:
$ f(x) [mm] \ge f(x_0)$ [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] D .
So, und damit ist natürlich jedes globale Extremum auch ein lokales.
FRED
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> So, und damit ist natürlich jedes globale Extremum auch
> ein lokales.
Zu befürchten ist nur, dass sich die Lehrkraft, welche
die Aufgabe gestellt hat, sich vielleicht doch etwas
anderes vorgestellt hat. Wenn beim Begriff "lokales
Extremum" im Rahmen der Differentialrechnung
genügend darauf herumgeritten worden ist, dass
man mögliche lokale Extremalstellen [mm] x_i [/mm] aufgrund
der Bedingung [mm] f'(x_i)=0 [/mm] finden könne, dann geraten
dabei möglicherweise andere lokale Extremalstellen
(am Rand eines Definitionsintervalls oder etwa an
einer Knickstelle wie bei y=|x|) aus den Augen,
Gott sei's geklagt: auch bei gewissen Lehrern. ![[heul]](/images/smileys/heul.gif "[heul]")
Gruß Al
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